谈谈拉格朗日中值定理的证明

谈谈拉格朗日中值定理的证明谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁， 在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中 值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它， 是十分必要的. 拉格朗日中值定 理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上， 能用来证明拉格朗日中值定理 的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中 值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分， 我们仅发现五种引 入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一 概述. 1 1 罗尔罗尔Rolle中值定理中值定理 如果函数fx满足条件：1在闭区间a,b上连续；2在开区间a,b内可 导； （3）f a fb,则在a,b内至少存在一点 ,使得f  0 罗尔中值定理的几何意义： 如果连续光滑曲线y  f x在点 A,B处的纵坐标 相等，那么，在弧AB上至少有一点C, f，曲线在C点的切线平行于x 轴，如图 1， 注意注意定理中三个条件缺少其中任何一个， 定理的结论将不一定成立；但不 能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于 a,b的 ，使得f  0. 这就 是说定理的条件是充分的，但非必要的.  2 2 拉格朗日拉格朗日lagrange 中值定理 中值定理 若函数fx满足如下条件：1在闭区间a,b上连续；2在开区间a,b内 可导；则在a,b内至少存在一点，使f   fb fa b  a 拉格朗日中值定理的几何意义： 函数y  f x在区间a,b上的图形是连续光 滑曲线弧AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB. 如图 2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若fx在闭区间a,b两端点的函 数值相等，即f a fb，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说， 罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函 数fx作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.  3 3 证明拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理 教材证法教材证法 fb fa x证明证明作辅助函数Fx fx ba 显然，函数Fx满足在闭区间  a,b上连续，在开区间 a,b内可导，而且 Fa Fb．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点 a   b，使 F  f  fb fafb fa.  0.即f  b  ab  a 用作差法引入辅助函数法用作差法引入辅助函数法 f b fa  x  a 证明证明作辅助函数x f x  f a  b  a  显然，函数x在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，ab 0， 因 此 ， 由 罗 尔 中 值 定 理 得 ， 至 少 存 在 一 点a,b， 使 得   f  f b fa fb fa  0，即f  b  ab  a 推广推广 1 1如图 3 过原点O作OT∥AB，由fx与直线OT对应的函数之差 构成辅助函数x，因为直线OT的斜率与直线AB的斜率相同，即有： fb fafb fa ，OT的直线方程为：y x，于是引入的辅 b ab a fb fa 助函数为：x fxx. （证明略） b  a K OT  K AB  推广推广 2 2如图 4 过点 a,O作直线 A B ∥AB，直线A B 的方程为： f b fa 由fx与直线函A B 数之差构成辅助函数x， 于是有： x  a， b  a f b fa x  a. （证明略）x f x b  a y  推推广广 3 3如图 5 过点作 b,O直线 A B ∥AB，直A B 线的方程为 y  fb fa x b，由fx与直线 AB b  a fb fa x b. b  a f b fa x  m， b  a 函数之差构成辅助函数x，于是有： x fx 事实上，可过y轴上任已知点O,m作 A/B/∥AB得直线为y  从而利用fx与直线的A B 函数之差构成 满足罗尔中值定理的辅助函数x都可以 用来证明拉格朗日中值定理. 因m是任意实数， 显然， 这样的辅助函数有无多个. 用对称法引入辅助函数法用对称法引入辅助函数法 在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x轴的对称函数也有无数个， 显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅 助函数是用曲线函数fx减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数fx， 即可得与之对称的辅助函数如下： f b fa  x  a  f x ⑴x  f a  b  a  fb fax  f x b  a f b fa ⑶x x  a fx b  a fb fa ⑷x x b fx b  a 等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以 ⑵x ⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明. 证明证明显然，函数x满足条件：1在闭区间a,b上连续；2在开区间 a,b内可导；3ab af bbfa .由罗尔中值定理知，至少存在一点 f b fa fb fa ，显 f  0，从而有f   b  ab  a 然可用其它辅助函数作类似的证明. b  a a,b，使得  转轴法转轴法 由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy逆时针旋转适当 的角度，得新直角坐标系XOY，若OX平行于弦AB，则在新的坐标系下fx 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明. 证明证明作转轴变换x  X cosY sin，y  X sinY cos，为求出， 解出X,Y得 X  xcos ysin xcos f xsin  Xx① Y  xsin ycos xsin fxcos Yx② 由YaYb得 asin f acos  bsin f bcos ，从而 tan f b fa ，取满足上式即可.由fx在闭区间a,b上连续，在开区间 b  a a,b内可导， 知Yx在闭区间a,b上连续， 在开区间a,