柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面 第四章柱面 锥面 旋转曲面与二次曲线 ·· 教学目的教学目的: : 1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方 程. 2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程 ,顶点在坐标原点的锥面方程 ,旋转轴 为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能 识别曲面的大致形状. 3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状. 4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法. 6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图. 重点难点重点难点: : 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、 旋转曲面的准线是难点. 2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面 方程的灵活多样是难点. 3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点 ,证明单叶双曲面与双曲抛物 面的一些性质难点. 4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线 是难点. §§4.14.1柱柱面面 一.柱面的定义 空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面. 柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线. 柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一. 二.柱面的方程 1 解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面 F (x, y,z)  0 在空间直角坐标系下,柱面准线方程  1 F (x, y,z)  0  2 (1)母线的方向数 X,Y,Z.即v X,Y,Z (2)任取柱面准线上一点M 1 (x 1 , y 1 ,z 1 )则过此点的母线方程为 x  x 1 y  y 1 z  z 1 XYZ 且有F 1 (x 1 , y 1 ,z 1 )  0,F 2 (x 1 , y 1 ,z 1 )  0.从而消去参数x 1, y1,z1 最后得到一个三元方 F (x, y,z)  0 程F(x, y,z)  0，这就是以 1 为准线, 母线的方向数 X,Y,Z 的柱面方 F2(x, y,z)  0 程. 三三. .例题讲解例题讲解 222 x  y  z 1 例例 1 1. .柱面的准线方程为 2 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面 22 2x  2y  z  2 的方程. 解设M 1 (x 1 , y 1 ,z 1 )是准线上的点,那么过M 1 (x 1 , y 1 ,z 1 )的母线为 222 x  x 1 y  y 1 z  z 1 x1  y 1  z 1 1 , 且  2 (1) 22101  2x1  2y 1  z 1  2 设 x  x 1 y  y 1 z  z 1 t,那么 x1 xt,y1  y,z1 z t,代 入 (1) 101 222 (x t)  y  (z t) 1 2(z t)  0,即t  z得可得 222 2(x t)  2y  (z t)  2 求得柱面方程为(x t)2 y21. 例例 2 2. . 已知圆柱面的轴为 柱面的方程. 解法一解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1, －2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了. 空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线 , 此圆柱面的准线圆可以看 成是以轴上的点 (0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距 2 xy 1z 1 ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这 1 2 2 解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面 离d 14为半径的球面x2 (y 1)2 (z 1)214与过知点(－1,－2,1)且垂直于 x 2(y 1)2(z 1)214 轴的平面x  2y  2z 3  0的交线,即准线圆的方程为x 2y 2z 3  0  设(x 1, y1,z1 )为准线圆上的点,那么x 1 (y 1 1)2(z 1 1)214,x 1 2y 1 2z 1 30 且过的(x 1 , y 1 ,z 1 )母线为 x  x 1 y  y 1 z  z 1.消去参数x 1, y1,z1 即得所求的圆柱 1 2 2 2 面方程8x25y25z2 4xy  4xz 8yz 18y 18z 99  0. 解法二解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹 ,这里的距离就是圆柱 面的半径. 轴的方向矢量为v 1,2,2,轴上的定点为M 0 (0,1,1),而圆柱面上的点为 M 1 (1,2,1),所以M 0 M 1 1,3,2,因此M 1 (1,2,1)到轴的距离为 d  M 0 M 1 v v  117 3 M 0 M v v 再设M(x, y,z)为圆柱上任意点,那么有d  117 即 3 y 1z 1  2 2 2  x 1x  21 2  x 1 y 1  2 2 1 (2)2 (2)2  117 3 化简整理得8x25y25z2 4xy  4xz 8yz 18y 18z 99  0. 定理定理 4.1.14.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面 是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。 (即证方程F(x,y)  0（11）表示的曲面是一个柱面，而且它的母线平行与 z 轴) F(x,y)  0 证证取曲面（11）与 xOy 坐标面的交线（12）为准线，z z  0  轴的方向 0：0：1 为母线方向，来建立这样的柱面方程。 3 解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面 设M 1(x1, y1,0) 为准线(12)上的任意一点，那么过M 1 的母线为 x  x 1 y  y 1 z ，即 001 x  x 1 （13）  y  y 1  又因为M 1(x1, y1,0) 在准线（12）上，所以有F(x 1,y1)  0 （14） （13）代入（14）消去参数x 1, y1 ，就得所求的柱面方程为F(x,y)  0，这就是方 程（11） ，所以方程（11）就是一个母线平行于z 轴的柱面。 常见柱面方程 x2y2 (1) 椭圆柱面 2  2  1 (a  b  0) ab (2) 圆柱面 x2 y2 R2 x2y2 (3) 双曲柱面 2  2 1 (a,b  0) ab (4) 抛物柱面y2 2px 空间曲线的射影柱面 通过空间曲线 L 作柱面,使其母线平行于坐标轴Ox,Oy,或Oz轴,设这样的柱面 方程分别为F 1 (y,z)  0,F 2 (x,z)  0,F 3 (x, y)  0这三个柱面分别叫曲