相似三角形与圆综合题

. 1、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是 AB 延长线上一点，过 E 作⊙O 的 切线 ED，切点为 C，AD⊥ED 交 ED 于点 D，交⊙O 于点 F，CG⊥AB 交 AB 于 点 G． 求证：BG•AG=DF•DA． 2、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AB⊥AC，BC 交⊙O 于 D，E 是 AC 的 中点，ED 与 AB 的延长线相交于点 F． (1)求证：DE 为⊙O 的切线． (2)求证：AB：AC=BF：DF． .w . 3、()已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC，BC 交⊙O 于点 D，DE⊥AC，E 为垂足． (1)求证：∠ADE=∠B； (2)过点 O 作 OF∥AD，与 ED 的延长线相交于点 F，求证：FD•DA=FO•DE． 4、如图，AB 为⊙O 的直径，BF 切⊙O 于点 B，AF 交⊙O 于点 D，点C 在 DF 上， BC 交⊙O 于点 E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF 于点 G，连接 AE． (1)直接写出 AE 与 BC 的位置关系； (2)求证：△BCG∽△ACE； (3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O 的半径长． .w . 5、如图，AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧 AC 上一点，弦DE⊥AB 分别 交⊙O 于 E，交 AB 于 H，交 AC 于 F．P 是 ED 延长线上一点且 PC=PF． (1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)点 D 在劣弧 AC 什么位置时，才能使 AD =DE•DF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若 OH=1，AH=2，求弦 AC 的长． 6、如图，AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点 D 为劣弧 AC 上一点，弦 DE⊥AB 分别交⊙O 于 E，交 AB 于 H， 交 AC 于 F．P 是 ED 延长线上一点且 PC=PF． (1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)点 D 在劣弧 AC 什么位置时，才能使 AD =DE•DF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若 OH=1，AH=2，求弦 AC 的长． .w 2 2 . 7、如是⊙O 的直径，CB、CD 分别切⊙O 于 B、D 两点，点 E 在 CD 的延长线上，且 CE=AE+BC； (1)求证：AE 是⊙O 的切线； (2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，连接 BE 交 DF 于点 M，求证：DM=MF． 8、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一点，连结 BD 并延长，使 CD=BD，连结 AC。过点 D 作 DE⊥ AC，垂足是点 E．过点 B 作 BE⊥AB，交 ED 延长线于点 F，连结 OF。 求证：(1)EF 是⊙O 的切线； (2)△OBF∽△DEC。 .w . 9、如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD⊥BC 于点 D，过点 C 作⊙O 切线，交 OD 的延长线于点 E，连结 BE． (1)求证：BE 与⊙O 相切； (2)连结 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB＝6，且 sin∠ABC＝ 2 ，求 BF 的长． 3 10、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D，DE ⊥AC 交 AC 的延长线于点 E，OE 交 AD 于点F。 (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若 AC4AF AB5 ，求 DF 的值； (3)在(2)的条件下，若⊙O 直径为 10，求△EFD 的面积． .w . 11、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，以AB 为直径作⊙O，BC 交⊙O 于点 D，E 是边 AC 的中点，ED、 AB 的延长线相交于点 F． 求证： (1)DE 为⊙O 的切线． (2)AB•DF=AC•BF． 12、如图，以△ABC 的边 AB 为直径的⊙O 与边 BC 交于点 D，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，延长 AB、ED 交 于点 F，AD 平分∠BAC． (1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)若 AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积． .w . 13、知 AB 是⊙O 的直径，直线 l 与⊙O 相切于点 C 且AC AD，弦 CD 交 AB 于 E，BF⊥l，垂足为 F，BF 交⊙O 于 G。 (1)求证：CE =FG·FB； (2)若 tan∠CBF= 14.如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC 平分∠BCD，BD 交 AC 于点 F，过点 A 作圆的切线 AE 交 CB 的延 长线于 E. 求证：①AE∥BD；②AD = DF·AE .w 2 2 1 ，AE=3，求⊙O 的直径。 2 . 1515、、已知：□ABCD，过点 D 作直线交 AC 于 E，交 BC 于 F，交 AB 的延长线于 G，经过 B、G、F 三点作⊙O， 过 E 作⊙O 的切线 ET，T 为切点. 求证：ET = ED 1616、、如图，△ABC 中，AB = AC，O 是 BC 上一点，以 O 为圆心，OB 长为半径的圆与 AC 相切于点 A，过点 C 作 CD⊥BA，垂足为 D. 求证： （1） ∠DAC = 2∠B； （2） CA = CD·CO .w 2 . 相似三角形与圆的综合考题（教师版）相似三角形与圆的综合考题（教师版） 1、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是 AB 延长线上一点，过E 作⊙O 的切线 ED，切点为 C，AD⊥ED 交 ED 于点 D，交⊙O 于点 F，CG⊥AB 交 AB 于点 G． 求证：BG•AG=DF•DA． 证明：连接 BC，FC，CO， ∵过 E 作⊙O 的切线 ED， ∴∠DCF=∠CAD， ∠D=∠D， ∴△CDF∽△ADC， ∴=， ∴CD2=AD×DF， ∵CG⊥AB，AB 为直径， ∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°， ∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°， ∴∠GBC=∠ACG， ∴△BGC∽△CGA， ∴=，∴CG2=BG×AG， ∵过 E 作⊙O 的切线 ED，∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE，∴CO∥AD， ∴∠OCA=∠CAD， ∵AO=CO， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OAC=∠CAD， 在△AGC 和△ADC 中， ， ∴△AGC≌△ADC（AAS） ， ∴CG=CD， ∴BG×AG=AD×DF． .w . 2、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AB⊥AC，BC 交⊙O 于 D，E 是 AC 的 中点，ED 与 AB 的延长线相交于点 F． (1)求证：DE 为⊙O 的切线． (2)求证：AB：AC=BF：DF． 3、()已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC，BC 交⊙O 于点 D，DE⊥AC，E 为垂足． (1)求证：∠ADE=∠B； (2)过点 O 作 OF∥AD，与 ED 的延长线相交于点 F，求证：FD•DA=FO•DE． 解： （1）方法一： 证明：连接 OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA． .w . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC． 又∵AB=AC， ∴AD 平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD． ∴∠ODA=∠DAE=∠OAD． ∵∠ADE+∠