专题03 频率分布直方图（原卷版）-概率统计题型全归纳

专题3 频率分布直方图 例1．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳高测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在[120，140）之间的学生中用分层抽样的方法抽取5人，应从[120，130）间抽取人数为b，则（ ） A．a＝0.2，b＝2B．a＝0.025，b＝3 C．a＝0.3，b＝4D．a＝0.030，b＝3 例2．从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值 分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110） 110，120） 频数 14 20 36 18 12 估计这种产品质量指标值的平均数为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A．100B．98.8C．96.6D．94.4 例3．“新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒，据统计老年患者治愈率为71%，中年患者治愈率为85%，青年患者治愈率为91%．如果某医院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则估计该医院的平均治愈率是（ ） A．86%B．83%C．90%D．84% 例4．已知样本数据x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均数与方差分别是a和b，若yi＝﹣2xi+3（i＝1，2，…n），且样本数据y1，y2，…，yn的平均数与方差分别是b和a，则a﹣b＝（ ） A．1B．2C．3D．4 例5．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120； ②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127； ③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8． 则可以判定数学成绩优秀同学为（ ） A．甲、乙B．乙、丙C．甲、丙D．甲、乙、丙 例6．若数据x1，x2，…，xn的平均数x=3，方差s2＝1，则数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数和方差分别为（ ） A．6，6B．9，2C．9，6D．9，4 例7．随着城镇化的不断发展，老旧小区的改造及管理已经引起了某市政府的高度重视，为了了解本市甲，乙两个物业公司管理的小区住户对其服务的满意程度，现从他们所服务的小区中随机选择了40个住户，根据住户对其服务的满意度评分，得到A区住户满意度评分的频率分布直方图和B区住户满意度评分的频率分布表． B区住户满意度评分的频率分布表 满意度评分分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 4 6 10 12 8 （Ⅰ）在图2中作出B区住户满意度评分的频率分布直方图，并通过频率分布直方图计算两区住户满意度评分的平均值及分散程度（其中分散程度不要求计算出具体值，给出结论即可）； （Ⅱ）根据住户满意度评分，将住户和满意度分为三个等级：满意度评分低于70分，评定为不满意；满意度评分在70分到89分之间，评定为满意；满意度评分不低于90分，评定为非常满意．试估计哪个地区住户的满意度等级为不满意的概率大？若是要选择一个物业公司来管理老旧小区的物业，从满意度角度考虑，应该选择哪一个物业公司？说明理由． 例8．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图； （2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）； （3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率． 例9．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准x，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图． ①求直方图中a的值； ②试估计该市居民月均用水量的众数、平均数； ③设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； ④如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么标准x定为多少比较合理？ 例10．如图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的基叶图（图中仅列出[50，60），[90，100）的数据）和频率分布直方图． （1）求全班人数以及频率分布直方图中的x，y； （2）估计学生竞赛成绩的平均数和中位数（保留两位小数）． 例11．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据． 数据一：身高在[170，180）（单位：cm）的体重频数统计 体重（kg） [50，55） [55，60） [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） 人数 20 60 100 100 80 20 10 10 数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据 身高x（cm） [140，150） [150，160） [160﹣170） [170﹣180） [180﹣190） 平均体重y（kg） 45 53.6 60 75 （Ⅰ）依据数据一将下面男高中生身高在[170﹣180）（单位：cm）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[170﹣180）（单位：cm）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位） （Ⅱ）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程； （Ⅲ）说明残差平方和或相关指数R2与线性回归模型拟合效果之间关系．（只需写出结论，不需要计算） 参考公式：b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=i=1n xiyi−nx⋅yi=1n xi2−nx2，â=y−b̂x． 参考数据：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608； （2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000． （3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375． （4）728×165＝120120． 例12．市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：t），频数分布如下：