数学建模模型

数学建模作业数学建模作业 题题目：目：基金使用计划基金使用计划 教教 学学 班班: :教学教学 X X 班班 组组员：员： 指导老师：指导老师： 二〇〇九年十二月一日 一、摘要一、摘要 在社会生活中，我们常会遇到一笔资金有很多不同的投资机会，面对这些机会， 我们可以选择不同的投资方式，从而使这笔资金在一段时间内达到收益最大化。本文 涉及的问题是基金会的一笔资金，每年都要用一部分本息进行必要的资助，每年的资 助金额要求大致相同，在可以将其存入银行业可购买国库券的俩中投资方式机会下， 怎样安排一个几年的计划，时期每年用于资助的金额尽可能多，而且几年后仍然保留 原有的金额不变. 本文给出了基金存款策略的数学模型。对于基金M使用n年的情况而言,首先把M分 成n份， 其中第i(1≤i≤n）份存款Mi存期为i年,那么只有当第i（i≤n-1)份资金按 最佳存款策略存款到期后的本息和等于当年的资助金额,并且第n份资金按最佳存款 策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才 能达到最多. 通过求解此模型，我们得到了基金的最佳存款策略，并求出了在n = 10 年， M = 2000 万元的情况下，基金的最佳使用方案.在可存款也可购买国库券时,采取一种转 化方法,将国库券购买情况转化为相应年期的定期存款,结合问题(一） 即可求得在n =10年,M =2000万元的情况下，基金的最佳使用方案;在第八年基金会庆祝时资助金额 比其它年度多20%的问题的分析方法和模型的解决方法与前相同. 二、问题的重述二、问题的重述 某基金会有一笔数额为 M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行 存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定. 基金会计划在 n 年内每年用部分本息进行必要的资助，要求每年的奖金额大致相 同，且在 n 年末仍保留原基金数额.基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每 年的奖金额.请你帮助基金会在如下情况下设计基金使用方案,并对 M=2000 万元,n=10 年给出具体结果： 1． 只存款不购国库券; 2． 可存款也可购国库券; 3． 在基金到位后的第 8 年为庆祝基金会的资助成果，基金会希望这一年的奖金 比其它年度多 20％。 表 1 银行存款及国库券年利率 银行存款税后年率 /％ 活期 三个月 六个月 一年期 二年期 三年期 五年期 0。576 1。368 1。512 1。584 1.800 2.016 2。232 2.25 2。52 2。79 国库券年利率/% 三、模型的假设三、模型的假设 （1）每年所发放奖金额保持相同； （2）银行年利率假设在这 n 年内保持不变； （3）银行储蓄中所得的利息不考虑纳税金额，同时不计复息; （4）在每年年末发放资助金； （5)存款或国库券到期及时取出，扣除部分用于年发奖金外立即存入银行或购国库 券； (6） 基金在当年末一次性到位； (7） 国库券每年发行一次且发行时间不定,且每次发行时三种利率的国库券都发行; (8） 每年年初就已经知道国库券发行时间。 四、符号说明四、符号说明 M表示基金总数 Mn表示用于第 n 年发放资助金的投资额 Rn表示存款 n 年的利率 X表示每年资助金额 n表示第 n 年 五、模型分析五、模型分析 一．只存款你购买国库券模型 现将 M 元分成 n 份，分别记作 M1、M2、M3……Mn。将 Mn 存入银行 n 年，到期 时取出,将本息和作为第 n 年资助金（第 10 年的本息和除作奖金为，还要留下原本 金 M). 容易看出，同一笔款任意改变其俩个存款的先后次序不会改变其本息和。例如: 现存一年后存三年与先存三年后存一年期，到期时本息和是一样的。不仅如此,进过 分析推演存2 个一年期不如存 1 个二年期,存 1个一年期再转存 1个二年期不如一次 存 1 个三年期，以此类推,存 2 个三年期不如存 1 个一年期再转存 1 个五年期［注： 该段参考文献 1]. (1+R1）(1+R1)〈1+2R2 （1+R1)(1+2R2）1+3R3 (1+2R2)(1+2R2)〈（1+R1）(1+3R3） (1+2R2)（1+3R3)〈1+5R5 （1+3R3）（1+3R3）〈(1+R1)（1+5R5） 由下式①、②得，先存一年定期再存三年定期,或先存三年定期再存一年定期得 到的利息是一样的. (一、三）Mn(1+R1）(1+3R3）=X① （三、一)Mn(1+3R3)（1+R1）=X② 结论 1： 由于银行存款没有四年期， 那么第四年底所发的奖金应由先存一年定期， 再存三年定期，或先存三年定期再存一年定期来实现,从而实现资金最优化利用。 结论 2：银行存款最佳周期为五年.为满足每年发放奖金最多，应满足一年期率 息全部用于发放第一年奖金；二年期本息全部发放第二年奖金；三年期本息部分发放 第三年奖金，余额再存一年定期全部发放第四年奖金；五年期本息用于发放第五年奖 金及余额为M，从而五年实现基金第一次回笼。 一周期最大利息存款方案 投资时间（年初） 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 二．可存款也可购国库券 仍将 M 元分成 n 份，分别记作 M1、M2、M3……Mn。Mn 可作为存款或购买国库券， 其利息和用作第 n 年的奖金，最后一笔除奖金外，还应留下基金本金 M[注:该段参考 文献 1］. 投资方案 一个一年期 到期用处 一年到期本息和作为第一 年奖金 一个二年期二年到期本息和作为第二 年奖金 一个三年期三年到期本息和作为第三 年奖金 一个一年期与一个三年期四年到期本息和作为第四 年奖金 一个五年期五年到期后本息和除支出 相应的奖金外,余额为 M 由于国库券在一年内的不定期发行，为保证有国库券是能够机制买上，可以考虑 将这笔钱以半年定期存入银行，若在上半年发行国库券，以活期利息提前支出，购买 国库券，当国库券到期时取出，再存一个半年定期，剩余的时间以活期计息；若早下 半年发行国库券，此时半年定期以到期 ,再以活期存入银行，有国库券时，立刻取出 购买国库券,到期时取出，剩余时间再存入活期。购买国库券之前及到期取出之后的 两端时间之和为一年,因此购买一个 n 年期的国库券实际需要 n+1 年。 购买国库券时，需要存半年的定期和总共半年的活期。 一定数量的资金存储n 年，存期种类相同，任意改变顺序,本息保持不变.再加上 以上分析，如果准备购买两年期国库券可以这样想象:先存半年定期,再存1个月的活 期,在8月1日购买两年期的国库券,两年后的8月1日取出国库券的本息后，再存5个月 的活期,即需要存半年的定期和总共三个月的活期及三个月的定期[注:该段参考文献 1]. 据此,下面考虑购买国库券的情况. 1) 第一年和第二年的奖金不能由买国库券来实现，则和前面问题一相同。即： i. ii. M1(1+R1)=X M2(1+2R2）=X 2) 3 年时使用，如果考虑购买俩年期国库券，则有三个月的活期,三个月的定期和半 年定期及一个二年活期国库券的利息，三年结束时单位资金增长结果：三年定期 是优选方案。 i.单位资金购买两年国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为： （1+2。25%＊2)(1+