中考数学专题复习全等三角形的相关模型总结

全等的相关模型总结全等的相关模型总结 一、一、角平分线模型应用 1.1.角平分性质模型： 辅助线：过点 G 作 GE射线 AC （1）.例题应用： ①如图 1，在ABC中，C 900，AD平分CAB,BC 6cm,BD  4cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是 cm. ②如图 2，已知，1 2，3 4.求证：AP平分BAC. 图 1图 2 ①2（提示：作 DEAB 交 AB 于点 E） (2)(2).模型巩固： 练习一：如图 3，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=CD，BD 平分BAC. .求证：AC 180 图 3 练习二：已知如图 4，四边形 ABCD 中， 图 4 练习三： 如图 5，RtABC中，ACB900，CD  AB,垂足为D，AF平分CAB,交 CD 于点 E，交 CB 于点 F. (1)(1)求证：CE=CF. (2)(2)将图 5 中的△ADE 沿 AB 向右平移到A D E 的位置，使点E 落在 BC 边上，其他条件不 变，如图 6 所示，是猜想：BE 于 CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论. 图 5图 6 练习四：如图 7，∠A  90，AD∥BC，P 是 AB 的中点，PD 平分∠ADC． 求证：CP 平分∠DCB． 第 1 页 A 2 P B D 1 4 E 3 C 图 7 练习五： 如图8， AB＞AC， ∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D， 自D作DE⊥AB， DF⊥AC， 垂足分别为 E，F．求证：BE=CF． 图 8 练习六：如图9 所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线 DF 交△BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F 为垂足，DE⊥AB 于 E，并且 ABAC。求证：BE－AC=AE。 D E A B F C 图 9 练习七： 如图 10，D、E、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC。 2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现 辅助线：延长 ED 交射线 OB 于 F辅助线：过点 E 作 EF∥射线 OB （（1 1））.例题应用： ①．如图 1 所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C，AD 是∠BAC 的平分线，BE⊥AD 于 F。 求证：BE  1 (AC  AB) 2 证明：延长 BE 交 AC 于点 F。 第 2 页 ②．已知：如图 2，在ABC中，BAC的角平分线AD交BC于D,且AB  AD, 分析：此题很多同学可能想到延长线段 CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此 题突破口就在于 AB=AD，由此我们可以猜想过 C 点作平行线来构造等腰三角形. 证明：过点 C 作 CE∥AB 交 AM 的延长线于点 E. 例题变形:如图，1 2，B为AC的中点，CM  FB于M, AN  FB于N. 1 求证：①EF  2BM;②FB (FM  FN). 2 (3)(3).模型巩固： 练习一、 如图 3，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D， CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。 图 3 EC是DCO的角平分线，且OE  CE，练习一变形：如图 4，在△ODC 中，D  900， .过点 E 作EF  OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明 图 4 练习二、如图 5，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB，且 AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180 度，求 证：DE∥BC 图 5 练习三、如图6，AD⊥DC，BC⊥DC，E 是 DC 上一点，AE 平分∠DAB D E ，BE 平分∠ABC，求证： 点 E 是 DC 中点。 B AD E C A 图 6 B C的外角平分线，过点A作AD  BD、练习四、①、如图 7（a） ，BD、CE分别是A C B 图 7（a）图 7（b）图 7（c） 别 是A B C的 内 角 平 分 线 ， 其 他 条②、如图 7（b） ，BD、CE分件 不 变 ； ③、如图 7（c） ，BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变. 则 在图 7（b） 、图 6（c）两种情况下，DE 与 BC 还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量 关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行) 第 3 页 练习五、 如图 8， 在直角三角形ABC中，C  90，A的平分线交BC于D． 自C作CG  AB 交AD于E，交AB于G．自D作DF  AB于F，求证：CF  DE． 图 8 练习六、如图 9 所示，在ABC中，AC  AB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线， 若CF  AD且交AD的延长线于F，求证MF  AC  AB． 图 9 练习六变形一： 如图 10 所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CD  AD于D，E是BC 的中点，求证DE∥AB且DE (AB  AC)． 图 10 练习六变形二：如图 11 所示，在ABC中，AD平分BAC，AD  AB，CM  AD于M， 求证AB AC  2AM． 图 11 练习七、如图 12，在ABC中，B  2C，BAC的平分线AD交BC与D．则有 AB BDAC．那么如图 13，已知在ABC中，ABC 3C，12，BE  AE．求证： 1 2 1 2 AC  AB  2BE． 图 12图 13 练习八、在△ABC中，AB 3AC，BAC的平分线交BC于D，过B作BE  AD，E为垂足， 求证：AD  DE． 练习九、AD是ABC的角平分线，BE  AD交AD的延长线于E，EF∥AC交AB于F． 求证：AF  FB． 3.3.角分线，分两边，对称全等要记全 两个图形的辅助线都是在射线 OA 上取点 B，使 OB=OA，从而使OAC≌△OBC. （1）.例题应用： ①、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交 BC 于 P，BQ 平分∠ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 第 4 页 2）解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的 思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得 △ADO≌△AQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。 ④如图（5） ，过 P 作 PD∥BQ 交 AC 于 D，则△ABP≌△ADP 从而得以解决。 小结： 通过一题的多种辅助线添加方法， 体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。 而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转 移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对 三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换