中考数学专题复习全等三角形的相关模型总结
全等的相关模型总结全等的相关模型总结 一、一、角平分线模型应用 1.1.角平分性质模型 辅助线过点 G 作 GE射线 AC (1).例题应用 ①如图 1,在ABC中,C 900,AD平分CAB,BC 6cm,BD 4cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是 cm. ②如图 2,已知,1 2,3 4.求证AP平分BAC. 图 1图 2 ①2(提示作 DEAB 交 AB 于点 E) 22.模型巩固 练习一如图 3,在四边形 ABCD 中,BCAB,ADCD,BD 平分BAC. .求证AC 180 图 3 练习二已知如图 4,四边形 ABCD 中, 图 4 练习三 如图 5,RtABC中,ACB900,CD AB,垂足为D,AF平分CAB,交 CD 于点 E,交 CB 于点 F. 11求证CECF. 22将图 5 中的△ADE 沿 AB 向右平移到ADE的位置,使点E落在 BC 边上,其他条件不 变,如图 6 所示,是猜想BE于 CF 又怎样的数量关系请证明你的结论. 图 5图 6 练习四如图 7,∠A 90,AD∥BC,P 是 AB 的中点,PD 平分∠ADC. 求证CP 平分∠DCB. 第 1 页 A 2 P B D 1 4 E 3 C 图 7 练习五 如图8, AB>AC, ∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D, 自D作DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为 E,F.求证BECF. 图 8 练习六如图9 所示,在△ABC 中,BC 边的垂直平分线 DF 交△BAC 的外角平分线 AD 于点 D,F 为垂足,DE⊥AB 于 E,并且 ABAC。求证BE-ACAE。 D E A B F C 图 9 练习七 如图 10,D、E、F 分别是△ABC 的三边上的点,CEBF,且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等,求证AD 平分∠BAC。 2.角平分线垂线,等腰三角形比呈现 辅助线延长 ED 交射线 OB 于 F辅助线过点 E 作 EF∥射线 OB ((1 1)).例题应用 ①.如图 1 所示,在△ABC 中,∠ABC3∠C,AD 是∠BAC 的平分线,BE⊥AD 于 F。 求证BE 1 AC AB 2 证明延长 BE 交 AC 于点 F。 第 2 页 ②.已知如图 2,在ABC中,BAC的角平分线AD交BC于D,且AB AD, 分析此题很多同学可能想到延长线段 CM,但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此 题突破口就在于 ABAD,由此我们可以猜想过 C 点作平行线来构造等腰三角形. 证明过点 C 作 CE∥AB 交 AM 的延长线于点 E. 例题变形如图,1 2,B为AC的中点,CM FB于M, AN FB于N. 1 求证①EF 2BM;②FB FM FN. 2 33.模型巩固 练习一、 如图 3,ΔABC 是等腰直角三角形,∠BAC90,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D, CE 垂直于 BD,交 BD 的延长线于点 E。求证BD2CE。 图 3 EC是DCO的角平分线,且OE CE,练习一变形如图 4,在△ODC 中,D 900, .过点 E 作EF OC交OC于点F.猜想线段EF与OD之间的关系,并证明 图 4 练习二、如图 5,已知△ABC 中,CE 平分∠ACB,且 AE⊥CE,∠AED+∠CAE=180 度,求 证DE∥BC 图 5 练习三、如图6,AD⊥DC,BC⊥DC,E 是 DC 上一点,AE 平分∠DAB D E ,BE 平分∠ABC,求证 点 E 是 DC 中点。 B AD E C A 图 6 B C的外角平分线,过点A作AD BD、练习四、①、如图 7(a) ,BD、CE分别是A C B 图 7(a)图 7(b)图 7(c) 别 是A B C的 内 角 平 分 线 , 其 他 条②、如图 7(b) ,BD、CE分件 不 变 ; ③、如图 7(c) ,BD为ABC的内角平分线,CE为ABC的外角平分线,其他条件不变. 则 在图 7(b) 、图 6(c)两种情况下,DE 与 BC 还平行吗它与ABC三边又有怎样的数量 关系请写出你的猜测,并证明你的结论.提示利用三角形中位线的知识证明线平行 第 3 页 练习五、 如图 8, 在直角三角形ABC中,C 90,A的平分线交BC于D. 自C作CG AB 交AD于E,交AB于G.自D作DF AB于F,求证CF DE. 图 8 练习六、如图 9 所示,在ABC中,AC AB,M为BC的中点,AD是BAC的平分线, 若CF AD且交AD的延长线于F,求证MF AC AB. 图 9 练习六变形一 如图 10 所示,AD是ABC中BAC的外角平分线,CD AD于D,E是BC 的中点,求证DE∥AB且DE AB AC. 图 10 练习六变形二如图 11 所示,在ABC中,AD平分BAC,AD AB,CM AD于M, 求证AB AC 2AM. 图 11 练习七、如图 12,在ABC中,B 2C,BAC的平分线AD交BC与D.则有 AB BDAC.那么如图 13,已知在ABC中,ABC 3C,12,BE AE.求证 1 2 1 2 AC AB 2BE. 图 12图 13 练习八、在△ABC中,AB 3AC,BAC的平分线交BC于D,过B作BE AD,E为垂足, 求证AD DE. 练习九、AD是ABC的角平分线,BE AD交AD的延长线于E,EF∥AC交AB于F. 求证AF FB. 3.3.角分线,分两边,对称全等要记全 两个图形的辅助线都是在射线 OA 上取点 B,使 OBOA,从而使OAC≌△OBC. (1).例题应用 ①、在△ABC 中,∠BAC60,∠C40,AP 平分∠BAC 交 BC 于 P,BQ 平分∠ABC 交 AC 于 Q,求证ABBPBQAQ。 思路分析 1)题意分析本题考查全等三角形常见辅助线的知识作平行线。 第 4 页 2)解题思路本题要证明的是 ABBPBQAQ。形势较为复杂,我们可以通过转化的 思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得 △ADO≌△AQO。得到 ODOQ,ADAQ,只要再证出 BDOD 就可以了。 ④如图(5) ,过 P 作 PD∥BQ 交 AC 于 D,则△ABP≌△ADP 从而得以解决。 小结 通过一题的多种辅助线添加方法, 体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。 而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的,体会构造的全等三角形在转 移线段中的作用。从变换的观点可以看到,不论是作平行线还是倍长中线,实质都是对 三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换