球的体积和表面积附答案

球的体积和表面积球的体积和表面积( (附答案附答案) ) 球的体积和表面积球的体积和表面积 [ [学习目标学习目标] ]1. 1.记准球的表面积和体积公式，会记准球的表面积和体积公式，会 计算球的表面积和体积计算球的表面积和体积 .22.能解决与球有关的组能解决与球有关的组 合体的计算问题合体的计算问题. . 知识点一知识点一球的体积公式与表面积公式球的体积公式与表面积公式 4 4 3 3 1. 1.球的体积公式球的体积公式 V V＝＝ π πR R ( (其中其中 R R 为球的半径为球的半径). ). 3 3 2. 2.球的表面积公式球的表面积公式 S S＝＝4π4πR R . . 思考思考球有底面吗？球面能展开成平面图形球有底面吗？球面能展开成平面图形 吗？吗？ 答答球没有底面，球的表面不能展开成平面球没有底面，球的表面不能展开成平面. . 知识点二知识点二球体的截面的特点球体的截面的特点 1. 1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何 体，体， 它的任何截面均为圆，它的任何截面均为圆， 它的三视图也都是圆它的三视图也都是圆. . 2 2 2 2 2. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离 构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题 的主要途径的主要途径. . 题型一题型一球的表面积和体积球的表面积和体积 例例 1 1(1)(1)已知球的表面积为已知球的表面积为 64π64π，求它的体积；，求它的体积； 500500 (2)(2)已知球的体积为已知球的体积为π π，求它的表面积，求它的表面积. . 3 3 解解(1)(1)设球的半径为设球的半径为 R R，则，则4π4πR R2 2＝＝64π64π，解得，解得R R ＝＝4 4，， 4 4 3 3 4 4 3 3 256256 所以球的体积所以球的体积 V V＝＝ π πR R ＝＝ π·4π·4 ＝＝π. π. 3 33 33 3 4 4 3 3 500500 (2)(2)设球的半径为设球的半径为 R R，，则则 π πR R ＝＝π π，，解得解得 R R＝＝5 5，， 3 33 3 所以球的表面积所以球的表面积 S S＝＝4π4πR R2 2＝＝4π4π××5 52 2＝＝100π.100π. 3 3 跟踪训练跟踪训练 1 1一个球的表面积是一个球的表面积是 16π16π，则它的体，则它的体 积是积是( () ) 64π64π32π32π A.64πA.64πB.B.C.32πC.32πD.D. 3 33 3 答案答案D D 解析解析设球的半径为设球的半径为 R R，则由题意可知，则由题意可知 4π4πR R ＝＝ 4 4 3 3 16π16π，故，故R R＝＝2. 2.所以球的半径为所以球的半径为 2 2，体积，体积V V＝＝ π πR R 3 3 3232 ＝＝π. π. 3 3 题型二题型二球的截面问题球的截面问题 例例 2 2平面平面 α α 截球截球 O O 的球面所得圆的半径为的球面所得圆的半径为 1. 1. 球心球心 O O 到平面到平面 α α 的距离为的距离为 2 2，则此球的体积为，则此球的体积为 ( () ) A.A. 6 6π πB.4B.4 3 3π πC.4C.4 6 6π πD.6D.6 3 3π π 答案答案B B 4 4 2 2 解析解析如图，设截面圆的圆心为如图，设截面圆的圆心为 O O′′，， MM 为截面圆上任一点，为截面圆上任一点， 则则 OOOO′′＝＝ 2 2，，O O′′MM＝＝1. 1. ∴∴OMOM＝＝   2 2 2 2＋＋1 1＝＝ 3. 3. 即球的半径为即球的半径为 3. 3. 4 4 ∴∴V V＝＝ π(π( 3)3)3 3＝＝4 4 3 3π. π. 3 3 跟踪训练跟踪训练2 2已知长方体共顶点的三个侧面面积已知长方体共顶点的三个侧面面积 分别为分别为 3 3，， 5 5，， 1515，则它的外接球表面积为，则它的外接球表面积为 ________.________. 答案答案9π9π 解析解析如图，是过长方体的一条体对如图，是过长方体的一条体对 角线角线 ABAB 的截面，设长方体有公共顶的截面，设长方体有公共顶 点的三条棱的长分别为点的三条棱的长分别为 x x，，y y，，z z，则，则 由已知，由已知， 5 5 xyxy＝＝ 3 3，，x x＝＝ 3 3，，      得得 yzyz＝＝ 5 5，，解得解得 y y＝＝1 1，，     z z＝ ＝ 5. 5.  zx zx＝＝ 1515，， 1 11 1 2 22 22 2 3 3 所以球的半径所以球的半径 R R＝＝ ABAB＝＝x x ＋＋y y ＋＋z z ＝＝ ，， 2 22 22 2 所以所以 S S 球球＝ ＝4π4πR R2 2＝＝9π.9π. 题型三题型三球的组合体与三视图球的组合体与三视图 例例 3 3某个几何体的三视图如图所示，求该几何某个几何体的三视图如图所示，求该几何 体的表面积和体积体的表面积和体积. . 解解由三视图可知该几何体的下部是棱长为由三视图可知该几何体的下部是棱长为2 2 的正方体，的正方体，上部是半径为上部是半径为 1 1 的半球，的半球，该几何体的该几何体的 表面积为表面积为 6 6 1 1 S S＝＝ ××4π4π××1 12 2＋＋6 6××2 22 2－－π π××1 12 2＝＝2424＋＋π. π. 2 2 该几何体的体积为该几何体的体积为 1 14 42π2π 3 3 V V＝＝2 2 ＋＋ ×× π π××1 1 ＝＝8 8＋＋. . 2 23 33 3 3 3 跟踪训练跟踪训练3 3有三个球，有三个球， 第一个球内切于正方体，第一个球内切于正方体， 第二个球与这个正方体各条棱相切，第二个球与这个正方体各条棱相切， 第三个球过第三个球过 这个正方体的各个顶点，这个正方体的各个顶点， 求这三个球的表面积之求这三个球的表面积之 比比. . 解解设正方体的棱长为设正方体的棱长为 a a. . ①①正方体的内切球球心是正方体的中心，正方体的内切球球心是正方体的中心， 切点是正方体六个面的中心，切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面，经过四个切点及球心作截面， 如图如图(1)(1)所示，则有所示，则有 2 2r r1 1＝＝a a，， a a 2 22 2 即即 r r1 1＝＝ ，所以，所以 S S1 1＝＝4π4πr r1 1＝＝π πa a . . 2 2 7 7 ②②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面，过球心作正方体的对角面得截面， 2 2 如图如图(2)(2)所示，则所示，则 2 2r r2 2＝＝ 2 2a a，即，即 r r2 2＝＝a a，， 2 2 2 2 所以所以 S S2 2＝＝4π4πr r2 2＝＝2π2πa a . . 2 2 ③③正方体的各个顶点在球面上，正方体的各个