概率论与数理统计标准答案第四版浙大

1、写出下列随机试验的样本空间S： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） 。 （2）生产产品直到有 10 件正品为之，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查， 合格的记上“正品”， 不合格的记上“次品”， 如连续查出了 2 件次品就停止检查，或检查了 4 件产品就停止检查，记录检查 结果。 （4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标。 (1)解：设该班学生数为n，总成绩的可取值为 0,1,2,3，…，100n， (2)解：S={10、11、12…} 所以试验的样本空间为 S={i/n| i=1、2、3…100n} (3)解：设 1 为正品 0 为次品 S={00，100，1100，010，1111，1110，1011，1101，0111，0110，0101， 1010} 22 (4)解：取直角坐标系，则S={（x，y）|x +y P（B） 解： （1） P（AB|A）=P（AAB) P（A） = P（AB) P（A） P(AB） P（AB|A∪B）=P（A∪BAB） P（A∪B） = P（A∪B） 因为P(A)≤P(AB)笔误?右边是并吧 所以 P（AB) P（A） ≥ P(AB） P（A∪B） 因此 证明 P（AB|A）≥P（AB|A∪B） ̅|𝐴）=P（𝐵𝐴)=1P （A∪B）=1P (A)P (B)P(AB) （2）P（𝐵 P（𝐴） 1P （A）1P （A） ̅ 因为 P（A|B）=P（AB) P（B） 所以 P(AB)=P(B) ̅|𝐴）=1P (A)P (B)P(AB) =所以 P（𝐵 1P （A） 1P (A) 1P （A） = 1 （3）P（A）=P(AC)+ P(A𝐶)= P（A|C）P(C)+ P（A|𝐶）P（𝐶） P（B）= P(BC)+ P(B𝐶)= P（B|C）P(C)+ P（B|𝐶）P（𝐶） 所以 P(A)-P(B)=P(C)( P（A|C）- P（B|C）)+ P（𝐶）(P（A|𝐶）- P（B|𝐶）) 已知 P（A|C）≥P（B|C） P（A|𝐶）≥P（B|𝐶） 所以 P(A)-P(B) ≥0 所以 P（A）≥P（B） 28．有两种花籽，发芽率分别为0.8 和 0.9，从中各取一个，设各花籽是否发芽相互独立 （1）这两颗花籽都能发芽的概率 （2）至少有一颗能发芽的概率 （3）恰有一颗能发芽的概率 解：设事件 A 为 a 花籽发芽，事件 B 为 b 花籽发芽 （1）P（AB）=P(A)P(B)=0.72 （2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=0.98 ̅ ∪ 𝐴B)= P（A∪B）- P（AB）=0.26 （3）P(A𝐵 29、根据报道美国人血型的分布近似地胃： A 型为 37％，O 型为 44％，B 型为 13％，AB 型为 6％。夫妻拥有的血型是相互独立的。 （1）B 型的人只有输入 B、O 两种血型才安全。若妻为B 型，夫为何种血型未知，求夫 是妻的安全输血者的概率。 （2）随机地取一对夫妇，求妻为B 型夫为 A 型的概率。 （3）随机地取一对夫妇，求其中一人为A 型，另一人为 B 型的概率。 （4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是O 型的概率。 解：设一个人的血型为 A,B,0，AB 分别为事件 A,B,O,AB. (1) 设夫是妻的安全输血者为事件C,则 P（C）=P（B）+ P（O）=13%+44%=0.57 (2) 设妻为 B 型夫为 A 型为事件 D,则 P（D）=P（B） ·P（A）=13%×37%=0.0481 （4）设随机地取一对夫妇，其中一人为 A 型，另一人为 B 型为事件 X，则事件 X 包 括妻为 B 型夫为 A 型和妻为 A 型夫为 B 型,P（X）=P(A)·P(B)+ P(A) ·P(B)=0.0962 (4)法一：设随机地取一对夫妇， 其中至少有一人是O 型为事件 Y，一个人的血型不是 O 为 事 件O , 则 事 件 Y 可 表 示 为 两 人 恰 有 一 人 为 O 型 和 两 人 都 是 O 型 ， P(Y)=P(O) ·P(O)+P(O) ·P(O)+P(0) ·P(O)=0.6864 法二：设随机地取一对夫妇，其中至少有一人是O 型为事件 Y，则事件Y 的对立事件为 两人都不是 O 型血（事件Y）,则 P(Y)=1-P(Y)=1- P(O)·P(O)=0.6864 30、 （1） 给出事件 A、 B 的例子， 使得 （i） P （A B） ＜P （A） ， （ii） P （A B） =P （A）（iii） P（A B）＞P（A） （2）设事件 A、B、C 相互独立，证明： （i）C 与 AB 相互独立（ii）C 与 AB 相互独立。 （3）设事件 A 的概率 P（A）=0，证明对于任意另一事件B，有 A、B 相互独立。 （4）证明事件 A、B 相互独立的充要条件是 P（A B）=P（A B） 答： （1） （i）当事件 B 发生会是事件 A 发生的概率减小时，P（A B）＜P（A） 比如 A 是骑自行车上学的学生，B 是男生，全集是所有学生 （ii）当事件 B 发生对 A 没有影响，即 A、B 互为独立事件时，P（A B）=P（A） 比如事件 A 是扔骰子得到一点，事件B 是明天下雨。 （iii）当事件 B 发生会是事件 A 发生的概率增加时，P（A B）＞P（A） 比如事件 A 是课余时间我去健身，事件 B 是课余时间室友们健身，显然 他们很有可能对我的决定产生影响。 （2） （i）∵A、B、C 相互独立 ∴P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=P（AB）P（C） 即 P（ （AB）C）=P（AB）P（C）∴C 与 AB 相互独立 （ii）P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB） ∴P（A∪B）P（C）=P（A）P（C）+P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P((A∪B)C) ∴C 与 A∪B 相互独立 （3）因 ABA,故若 P（A）=0，则 0≪P（AB）≪P(A) 从而 P(AB)=0=P(B)∙0=P(B)∙P(A) 按定义，A,B 相互独立。 （4） 必要性.设A,B相互独立， 则A, B也相互独立， 从而只P （A|B） =P(A), P(A| B)=P(A).故 P（A|B）= P(A|B). 充 分 性 . 设P （ A|B ） =P(A| B ) ， 按 定 义 此 式 即 表 示 P(AB) P(AB) P(A(B  1P(B) P(B) P(AB)P(AB) = P(B)P(B) 由比例的性质得 B))  P(A) P(AB)P(AB) P(AB) P(A(B  = P(B)1P(B) P(B) B))  P(A) 31.设事件 A，B 的概率均大于零，说明以下叙述（1）必然对， （2）必然错， （3）可能对。 并说明理由。 （1）若 A 与 B 互不相容，则它们相互独立。 （2）若 A 与 B 相互独立，则它们互不相容。 （3）P(A)=P(B)=0.6，且 A,B 互不相容。 （4）P(A)=P(B)=0.6，且 A,B 相互独立。 解：