概率论与数理统计标准答案第四版浙大

1、写出下列随机试验的样本空间S （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） 。 （2）生产产品直到有 10 件正品为之，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查， 合格的记上“正品”， 不合格的记上“次品”， 如连续查出了 2 件次品就停止检查，或检查了 4 件产品就停止检查，记录检查 结果。 （4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标。 1解设该班学生数为n，总成绩的可取值为 0,1,2,3，，100n， 2解S{10、11、12} 所以试验的样本空间为 S{i/n| i1、2、3100n} 3解设 1 为正品 0 为次品 S{00，100，1100，010，1111，1110，1011，1101，0111，0110，0101， 1010} 22 4解取直角坐标系，则S{（x，y）|x y P（B） 解 （1） P（AB|A）P（AAB P（A） P（AB P（A） PAB） P（AB|A∪B）P（A∪BAB） P（A∪B） P（A∪B） 因为PA≤PAB笔误右边是并吧 所以 P（AB P（A） ≥ PAB） P（A∪B） 因此 证明 P（AB|A）≥P（AB|A∪B） ̅|𝐴）P（𝐵𝐴1P （A∪B）1P AP BPAB （2）P（𝐵 P（𝐴） 1P （A）1P （A） ̅ 因为 P（A|B）P（AB P（B） 所以 PABPB ̅|𝐴）1P AP BPAB 所以 P（𝐵 1P （A） 1P A 1P （A） 1 （3）P（A）PAC PA𝐶 P（A|C）PC P（A|𝐶）P（𝐶） P（B） PBC PB𝐶 P（B|C）PC P（B|𝐶）P（𝐶） 所以 PA-PBPC P（A|C）- P（B|C） P（𝐶）P（A|𝐶）- P（B|𝐶） 已知 P（A|C）≥P（B|C） P（A|𝐶）≥P（B|𝐶） 所以 PA-PB ≥0 所以 P（A）≥P（B） 28．有两种花籽，发芽率分别为0.8 和 0.9，从中各取一个，设各花籽是否发芽相互独立 （1）这两颗花籽都能发芽的概率 （2）至少有一颗能发芽的概率 （3）恰有一颗能发芽的概率 解设事件 A 为 a 花籽发芽，事件 B 为 b 花籽发芽 （1）P（AB）PAPB0.72 （2）P（A∪B）PAPB-PAB0.98 ̅ ∪ 𝐴B P（A∪B）- P（AB）0.26 （3）PA𝐵 29、根据报道美国人血型的分布近似地胃 A 型为 37％，O 型为 44％，B 型为 13％，AB 型为 6％。夫妻拥有的血型是相互独立的。 （1）B 型的人只有输入 B、O 两种血型才安全。若妻为B 型，夫为何种血型未知，求夫 是妻的安全输血者的概率。 （2）随机地取一对夫妇，求妻为B 型夫为 A 型的概率。 （3）随机地取一对夫妇，求其中一人为A 型，另一人为 B 型的概率。 （4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是O 型的概率。 解设一个人的血型为 A,B,0，AB 分别为事件 A,B,O,AB. 1 设夫是妻的安全输血者为事件C,则 P（C）P（B） P（O）13440.57 2 设妻为 B 型夫为 A 型为事件 D,则 P（D）P（B） P（A）13370.0481 （4）设随机地取一对夫妇，其中一人为 A 型，另一人为 B 型为事件 X，则事件 X 包 括妻为 B 型夫为 A 型和妻为 A 型夫为 B 型,P（X）PAPB PA PB0.0962 4法一设随机地取一对夫妇， 其中至少有一人是O 型为事件 Y，一个人的血型不是 O 为 事 件O , 则 事 件 Y 可 表 示 为 两 人 恰 有 一 人 为 O 型 和 两 人 都 是 O 型 ， PYPO POPO POP0 PO0.6864 法二设随机地取一对夫妇，其中至少有一人是O 型为事件 Y，则事件Y 的对立事件为 两人都不是 O 型血（事件Y）,则 PY1-PY1- POPO0.6864 30、 （1） 给出事件 A、 B 的例子， 使得 （i） P （A B） ＜P （A） ， （ii） P （A B） P （A）（iii） P（A B）＞P（A） （2）设事件 A、B、C 相互独立，证明 （i）C 与 AB 相互独立（ii）C 与 AB 相互独立。 （3）设事件 A 的概率 P（A）0，证明对于任意另一事件B，有 A、B 相互独立。 （4）证明事件 A、B 相互独立的充要条件是 P（A B）P（A B） 答 （1） （i）当事件 B 发生会是事件 A 发生的概率减小时，P（A B）＜P（A） 比如 A 是骑自行车上学的学生，B 是男生，全集是所有学生 （ii）当事件 B 发生对 A 没有影响，即 A、B 互为独立事件时，P（A B）P（A） 比如事件 A 是扔骰子得到一点，事件B 是明天下雨。 （iii）当事件 B 发生会是事件 A 发生的概率增加时，P（A B）＞P（A） 比如事件 A 是课余时间我去健身，事件 B 是课余时间室友们健身，显然 他们很有可能对我的决定产生影响。 （2） （i）∵A、B、C 相互独立 ∴P（ABC）P（A）P（B）P（C）P（AB）P（C） 即 P（ （AB）C）P（AB）P（C）∴C 与 AB 相互独立 （ii）P（A∪B）P（A）P（B）-P（AB） ∴P（A∪B）P（C）P（A）P（C）PBPC-PABPCPA∪BC ∴C 与 A∪B 相互独立 （3）因 ABA,故若 P（A）0，则 0≪P（AB）≪PA 从而 PAB0PB∙0PB∙PA 按定义，A,B 相互独立。 （4） 必要性.设A,B相互独立， 则A, B也相互独立， 从而只P （A|B） PA, PA| BPA.故 P（A|B） PA|B. 充 分 性 . 设P （ A|B ） PA| B ， 按 定 义 此 式 即 表 示 PAB PAB PAB  1PB PB PABPAB PBPB 由比例的性质得 B  PA PABPAB PAB PAB  PB1PB PB B  PA 31.设事件 A，B 的概率均大于零，说明以下叙述（1）必然对， （2）必然错， （3）可能对。 并说明理由。 （1）若 A 与 B 互不相容，则它们相互独立。 （2）若 A 与 B 相互独立，则它们互不相容。 （3）PAPB0.6，且 A,B 互不相容。 （4）PAPB0.6，且 A,B 相互独立。 解