有理数混合运算简便算法与技巧

有理数的计算方法与技巧有理数的计算方法与技巧 有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突 破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技 巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。 一、四个原则：一、四个原则： ①整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负 数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 ②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算 中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 ③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法 之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 ④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运 算。 二、运算技巧二、运算技巧 ①归类组合：①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算， 如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 例：例：计算：－(0.5)－(－3 11 ) + 2.75－(7) 42 解法一：－(0.5)－(－3 11 ) + 2.75－(7) 42 = (－0.5 + 2.75) + (3 1 4 11 －7) 42 = 2.25－4 =－2 资料. 解法二：－(0.5)－(－3 11 ) + 2.75－(7) 42 =－0.5 + 3 11 + 2.75－7 42 11 + 0.75 －)=－2 42 = (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数 又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法． ②凑整：②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题 难度，提高解题效率． 12411 例：例：计算：1  2  4 5 1  38 . 63536 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为 整数，故可用“凑整”法。 11214 ( 11)  (2  5)  (4  3.8)解：解：原式 66335 81 7 例：例：计算：19＋299＋3999＋49999 解：19＋299＋3999＋49999 =20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 = (20＋300＋4000＋50000)－4 = 54320－4 = 54316． 2 ③分解：③分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 1111 例：例：计算：2543 4236 111 1 解：原式2543   4236 364 2   2   12121212  2 11  2 1212 例：例：计算：20082009200920092009200820082008。 解：原式 2008200910001000120092008100010001 0 例：例：计算 2005× 20031001 －1001×． 20041002 解：2005× 200310011001 － 20041002 20031001 －(1002－1)× 20041002 = (2004＋1)× = (2003－1001)＋( 20031001 ＋) 20041002 =1003 2001 2004 评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问 题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决． 9 ④约简：④约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 611 1   例：例：计算：2.50.1251.250.621  5284  6 2.5   0.1251.25 5 解：原式 2 111 0.621 284 ⑤倒序相加：⑤倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 例：例：计算 1234005  2003200320032003 1234005 解：解：设A，把等式右边倒序排列，得  2003200320032003 4005400421 A   2003200320032003 将两式相加，得 140052400440051 2 A  ()  ()  () 200320032003200320032003 即2A  2  4005，所以 A=4005 所以原式＝4005 ⑥裂项相消法⑥裂项相消法: :凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法 例：例： 2 解：解：应用关系式 原式 来进行“拆项”。 ⑦正逆用运算律：⑦正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成 立，有时逆用也可使运算简便。 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵 活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快． 例：例：计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88． 解：解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48× 44 =17.48×37＋17.48×19＋17.48×44 = 17.48×(37＋19＋44) = 1748． 评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率． ⑧变序⑧变序 在有理数的运算中， 适当改变运算顺序， 有时可以减少运算量， 在具体运算过程中， 技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．  4 例：例：计算：12.531 0.1  5 4 解：解：原式 12.50.131 5  9  131 31。 5127 ＋(－)]＋[(－)＋6] 127712 例：例：计算：[4 解：解：[4 5127 ＋(－)]＋[(－)＋6] 127712 = 4 5127 ＋(－)＋(－)＋6 127712 5721 ＋6]＋[(－)＋(－)] 121277 3 ) 7 = [4 = 11＋(－ 4 7 = 10 评析： 在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数 的位置，达到简化运算、快速解题的目的． 同步练习题同步练习题 1 1：： 1. 计算： 1 2  3 4 5 6 7 8 9 101112199719981999 2000 2001 2 2. 已知 0 为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为 1、2，设P1为AB的中点，P2为AP1 的中点，…，P100为P99的中点，求P1，P2，P3，…，P100所对应的各数之