有理数混合运算简便算法与技巧

有理数的计算方法与技巧有理数的计算方法与技巧 有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突 破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技 巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。 一、四个原则一、四个原则 ①整体性原则 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负 数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 ②简明性原则计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算 中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 ③口算原则在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法 之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 ④分段同时性原则 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运 算。 二、运算技巧二、运算技巧 ①归类组合①归类组合运用交换律、结合律归类加减，将同类数如正数或负数归类计算， 如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 例例计算－0.5－－3 11 2.75－7 42 解法一－0.5－－3 11 2.75－7 42 －0.5 2.75 3 1 4 11 －7 42 2.25－4 －2 资料. 解法二－0.5－－3 11 2.75－7 42 －0.5 3 11 2.75－7 42 11 0.75 －－2 42 3 2－7 －0.5 评析解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数 又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法． ②凑整②凑整将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 将相加可得整数的数放在一起进行运算其中包括互为相反数相加，可以降低解题 难度，提高解题效率． 12411 例例计算1  2  4 5 1  38 . 63536 分析本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为 整数，故可用“凑整”法。 11214  11  2  5  4  3.8解解原式 66335 81 7 例例计算19＋299＋3999＋49999 解19＋299＋3999＋49999 20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 20＋300＋4000＋50000－4 54320－4 54316． 2 ③分解③分解将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 1111 例例计算2543 4236 111 1 解原式2543   4236 364 2   2   12121212  2 11  2 1212 例例计算20082009200920092009200820082008。 解原式 2008200910001000120092008100010001 0 例例计算 2005 20031001 －1001． 20041002 解2005 200310011001 － 20041002 20031001 －1002－1 20041002 2004＋1 2003－1001＋ 20031001 ＋ 20041002 1003 2001 2004 评析对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问 题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决． 9 ④约简④约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 611 1   例例计算2.50.1251.250.621  5284  6 2.5   0.1251.25 5 解原式 2 111 0.621 284 ⑤倒序相加⑤倒序相加利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 例例计算 1234005  2003200320032003 1234005 解解设A，把等式右边倒序排列，得  2003200320032003 4005400421 A   2003200320032003 将两式相加，得 140052400440051 2 A       200320032003200320032003 即2A  2  4005，所以 A4005 所以原式＝4005 ⑥裂项相消法⑥裂项相消法 凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法 例例 2 解解应用关系式 原式 来进行“拆项”。 ⑦正逆用运算律⑦正逆用运算律正难则反, 逆用运算定律以简化计算。 乘法分配律 abcabac 在运算中可简化计算．而反过来，abacabc同样成 立，有时逆用也可使运算简便。 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵 活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快． 例例计算17.4837＋174.81.9＋8.7488． 解解17.4837＋174.81.9＋8.7488 17.4837＋17.48101.9＋17.48 44 17.4837＋17.4819＋17.4844 17.4837＋19＋44 1748． 评析很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率． ⑧变序⑧变序 在有理数的运算中， 适当改变运算顺序， 有时可以减少运算量， 在具体运算过程中， 技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．  4 例例计算12.531 0.1  5 4 解解原式 12.50.131 5  9  131 31。 5127 ＋－]＋[－＋6] 127712 例例计算[4 解解[4 5127 ＋－]＋[－＋6] 127712 4 5127 ＋－＋－＋6 127712 5721 ＋6]＋[－＋－] 121277 3 7 [4 11＋－ 4 7 10 评析 在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数 的位置，达到简化运算、快速解题的目的． 同步练习题同步练习题 1 1 1. 计算 1 2  3 4 5 6 7 8 9 101112199719981999 2000 2001 2 2. 已知 0 为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为 1、2，设P1为AB的中点，P2为AP1 的中点，，P100为P99的中点，求P1，P2，P3，，P100所对应的各数之