平面向量的极化恒等式及其应用

平面对量的极化恒等式及其应用 一. 极化恒等式的由来 定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 证法1 （向量法）设 则 . 即 . 证法2 （解析法） 证法3 （余弦定理） 推论1：由知，, 即 推论2： -------------------- 极化恒等式. 即 推论3：在中，是边的中点，则 ---------------- 极化恒等式的几何意义. 亦即向量数量积的其次几何意义. 二. 平行四边形的一个重要结论 平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. . 三. 三角形中线的一特性质： . 推论1： . 推论2： . 【应用】已知点是直角三角形斜边上中线的中点，则. 四. 三角形“四心”的向量形态 1. 是平面上肯定点，是平面上不同的三点，动点P满意，，则动点P的轨迹肯定通过的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 2. 是平面上肯定点，是平面上不同的三点，动点P满意 ，. 则动点P的轨迹肯定通过的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 3. 是平面上肯定点，是平面上不同的三点，动点P满意，， 则动点P的轨迹肯定通过的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 4. 是所在平面上一点，若，P是的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 5. 是所在平面内的一点，满意，则点是的------（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 五. 典型案例分析 问题1 在中，是的中点，，则 【变式】已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则 问题2 已知正三角形内接于半径为2的圆，点是圆上的一个动点，则的取值范围是--------- 【变式】（2010福建文11题）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的随意一点，则的最大值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 问题3 （2013浙江理7）在中，是边上肯定点，满意，且对于边上任一点，恒有，则 A. B. C. D. 【变式】（2008浙江理9题）已知是平面内的两个相互垂直的单位向量，若向量满意，则的最大值是 （ ） A. 1 B. 2 C. D. . 问题3 已知直线与抛物线交于点，点为的中点，为抛物线上一个动点，若满意，则下列肯定成立的是 （ ）【B】 A. B. ，其中是抛物线过点的切线 C. D. （2013年浙江省中学数学竞赛试题第5题） 问题4 在正三角形中，是上的点，,则 （2011年上海第11题）【】 问题5 在中，，是的中点，则. （2007年天津文科第15题）【】 问题6 正方体的棱长为，是它内切球的一条弦（把球面上随意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为---------.（2013年浙江省湖州市高三数学二模）【2】. 问题7 点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是--------------. （2013年北京市朝阳区高三数学二模）【】. 问题8 如图，在平行四边形中，已知，，则.的值为-----.（2014年高考江苏卷第12题）【22】 问题9 如图，在半径为的扇形中，,为弧上的动点，与交于点，则最小值为-------【】. 问题10 已知是双曲线上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【椭圆与双曲线焦点三角形的几个结论】： 在椭圆中，设，则 ，，. 在双曲线，设，则 ，，. 课外探究1. 已知点是椭圆上随意一点，是圆的直径，则的最大值为-------【23】 2. 若直线与圆相交于两点，则=--------. 3. 已知双曲线的左顶点，右焦点，为双曲线右支上一点，则的最小值为----【—2】 4