平面向量的极化恒等式及其应用
平面对量的极化恒等式及其应用 一. 极化恒等式的由来 定理平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 证法1 (向量法)设 则 . 即 . 证法2 (解析法) 证法3 (余弦定理) 推论1由知,, 即 推论2 -------------------- 极化恒等式. 即 推论3在中,是边的中点,则 ---------------- 极化恒等式的几何意义. 亦即向量数量积的其次几何意义. 二. 平行四边形的一个重要结论 平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. . 三. 三角形中线的一特性质 . 推论1 . 推论2 . 【应用】已知点是直角三角形斜边上中线的中点,则. 四. 三角形“四心”的向量形态 1. 是平面上肯定点,是平面上不同的三点,动点P满意,,则动点P的轨迹肯定通过的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 2. 是平面上肯定点,是平面上不同的三点,动点P满意 ,. 则动点P的轨迹肯定通过的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 3. 是平面上肯定点,是平面上不同的三点,动点P满意,, 则动点P的轨迹肯定通过的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 4. 是所在平面上一点,若,P是的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 5. 是所在平面内的一点,满意,则点是的------( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 五. 典型案例分析 问题1 在中,是的中点,,则 【变式】已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则 问题2 已知正三角形内接于半径为2的圆,点是圆上的一个动点,则的取值范围是--------- 【变式】(2010福建文11题)若点和点分别为椭圆的中心和左焦点,点为椭圆上的随意一点,则的最大值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 问题3 (2013浙江理7)在中,是边上肯定点,满意,且对于边上任一点,恒有,则 A. B. C. D. 【变式】(2008浙江理9题)已知是平面内的两个相互垂直的单位向量,若向量满意,则的最大值是 ( ) A. 1 B. 2 C. D. . 问题3 已知直线与抛物线交于点,点为的中点,为抛物线上一个动点,若满意,则下列肯定成立的是 ( )【B】 A. B. ,其中是抛物线过点的切线 C. D. (2013年浙江省中学数学竞赛试题第5题) 问题4 在正三角形中,是上的点,,则 (2011年上海第11题)【】 问题5 在中,,是的中点,则. (2007年天津文科第15题)【】 问题6 正方体的棱长为,是它内切球的一条弦(把球面上随意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦最长时,的最大值为---------.(2013年浙江省湖州市高三数学二模)【2】. 问题7 点是棱长为1的正方体的底面上一点,则的取值范围是--------------. (2013年北京市朝阳区高三数学二模)【】. 问题8 如图,在平行四边形中,已知,,则.的值为-----.(2014年高考江苏卷第12题)【22】 问题9 如图,在半径为的扇形中,,为弧上的动点,与交于点,则最小值为-------【】. 问题10 已知是双曲线上的一点,是的两个焦点,若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【椭圆与双曲线焦点三角形的几个结论】 在椭圆中,设,则 ,,. 在双曲线,设,则 ,,. 课外探究1. 已知点是椭圆上随意一点,是圆的直径,则的最大值为-------【23】 2. 若直线与圆相交于两点,则--------. 3. 已知双曲线的左顶点,右焦点,为双曲线右支上一点,则的最小值为----【2】 4