中考数学专题复习之一新情景应用问题
中考数学专题复习之一新情景应用问题 图 2-2-3 中考数学专题复习 一.新情境应用问题 I >综合问题精讲: 以现实生活问题为背景的应用问题,是中考的热点,这类问题取材新颖,立意巧妙,有 利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查,让考生在变化的情境中解 题,既没有现成的模式可套用,也不可能靠知识的简单重复来实现,更多的是需要思考和 分析,新情境应用问题有以下特点:(1)提供的背景材料新,提出的问题新;(2)注重 考查阅读理解能力,许多中考试题中涉及的数学知识并不难,但是读懂和理解背景材料成 了一道“关”; (3)注重考查问题的转化能力.解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题, 这也是应用能力的核心. II、典型例题剖析 【例1】如图(8),在某海滨城市0附近海面有一股台风,据监测,当前台风中心位于 该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处,并以20千米/时的速度向西偏北25°的 PQ的方向移动,台风侵袭范围是一个圆形区域,当前半径为60千米,且圆的半径以10千 米/时速度不断扩张. (1)当台风中心移动4小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米;又台风中心移 动t小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米. (2)当台风中心移动到与城市0距离最近时,这股台风是否侵袭这座海滨城市?请说明 理由( 1. 411. 73). 图 2-2-1 /\ 70° 北 i i 西►东 南 25 图 2-2-2 解:(1)100; (2) (60 lot); ⑶作OH PQ于点H 72 ,可算得OH 141 (千米),设经过t小时时,台风中心从P移动到H ,则 PH 20t t ,此时,受 72 台风侵袭地区的圆的半径为:60 10 130.5 (千米)< 141 (千米) 城市。不会受到侵袭。 点拨:对于此类问题常常要构造直角三角形.利用三角函数 知识来解决,也可借助于方程. 【例2】如图2 — 1 — 5所示,人民海关缉私巡逻艇在东海海 域执行巡逻任务时,发现在其所处位置0点的正北方向10 海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度 向正东方向航行,为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/时的速度追赶, 在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问: ⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置) ⑵确定巡逻艇的追赶方向(精确到0. 1° ). 解:设需要t小时才能追上,则A B=24 t, 0B=26t. 222 (1)在 RtAAOB 中,0B= 0A+ A B, 222 即(26t) =10 + (24 t) 解得t=±l, t=—1不合题意,舍去,t=l, 即需要1小时才能追上. AB24tl2 (2)在 RtAAOB 中,因为 sin£AOB= = ^0. 9231 ,所以ZA0B«6 7. 4° , 0B26tl3 即巡逻艇的追赶方向为北偏东67. 4。. 点拨:几何型应用题是近几年中考热点,解此类问题的关键是准确读图. 【例3】某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种 机器 供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算,本 次购买机器所耗资金不能超过34万元。 甲 乙 价格(万元/台) 7 5 每台日产量(个) 100 60 ⑴按该公司要求可以有几种购买方案? ⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个,那么为了节约资金应选择哪 种方案? 解:(1)设购买甲种机器x台,则购买乙种机器(6-x)台。 由题意,得7x 5 (6 x) 34, 解这个不等式,得x 2,即x可以取0、1、2三个值, 所以,该公司按要求可以有以下三种购买方案: 方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器6台; 方案二:购买甲种机器1台,购买乙种机器5台; 方案三:购买甲种机器2台,购买乙种机器4台; (2)按方案一购买机器,所耗资金为30万元,新购买机器日生产量为360个;按方案 二购买机器,所耗资金为1X7 + 5X5 = 32万元;,新购买机器日生产量为1X100 + 5X60 =400个;按方案三购买机器,所耗资金为2X7+4X5 = 34万元;新购买机器日生产量为 2X100+4X60=440个。因此,选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求,又比 方案三节约2万元资金,故应选择方案二。 【例4】某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖,装饰材料商场出售的 这种瓷砖有大、小两种包装,大包装每包50片,价格为30元;小包装每包30片,价格 为20元,若大、小包装均不拆开零售,那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少? 解:根据题意,可有三种购买方案;方案一:只买大包装,则需买包数为:50 5; 由于不拆包零卖.所以需买10包.所付费用为30X10=300(元)方案二:只买小包 装.则需买包数为:480 16 3048048所以需买1 6包,所付费用为1 6X20 = 320(元) 方案三:既买大包装.又买小包装,并设买大包装x包.小包装y包.所需费用为W 元。 50 x 30y 480 则 W 10 x 320 W 30 x 203 VO 50 x 480,且x为正整数, Ax 9时,W最小 290(元). 购买9包大包装瓷砖和1包小包装瓷砖时,所付费用最少.为290元。 答:购买9包大包装瓷砖和1包小包装瓷砖时,所付费用最少为290元。 点拨:数学知识来源于生活,服务于生活,对于实际问题,要富有创新精神和初中能 力,借助于方程或不等式来求解。 【例5]如图2-22所示,是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示 意图,在有0、A两个观测点,分别测得目标点火炬C的仰角分别为a, 0A=2米, tan32 a = , tan B =位于点0正上方2米处的点D的发身装置可以向目标C同身一个火球 53 点燃火炬,该火球运行地轨迹为一抛物线,当火球运行到距地面最大高度20米时,相 应的水平距离为12米(图中E点)= ⑴求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式; ⑵说明按⑴中轨迹运行的火球能否点燃目标C? 解:⑴由题意可知:抛物线顶点坐标为(12, 20), D点的坐标为(0, 2),所以抛物线解析 式为 y a (x h) 2 k,即 y x (x 12) 2 20 2 .点D在抛物线上,所以2=a( 12) 20,即a 8 1 VIo 抛物线解析式为:y 1x2 3x 2(0 x 12 8 ⑵过点C作CF±x轴于F点,设CF=b, AF=a,则b2 a 18. tan解得: a3 12. tana b 3, a 25 则点C的坐标为(20, 12),当x=20时,函数值y= 1 202 3 20 2 12,所以能点燃 目标C. 8 点拨:本题是三角函数和抛物线的综合应用题,解本题的关键是建立数学模型,即将实 际问题转化为数学问题来解决.