高中数学必修二圆与圆的方程复习
圆与方程复习 一、知识点: 1. 圆的标准方程, 圆的一般方程(£>2 + E2-4F>0). 2. 点 P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2 =r2 的位置关系: (1) 点在圆内 O (2)点在圆上O (3)点在圆外O 3. 直线/: Ax + By + C = O(A,B不全为0),圆C: (x-a)2+(y-b)2 = r2,圆心到直线的距离为d , 直线与圆的位置关系的判断方法: (1) 几何法:O直线与圆相离;O直线与圆相切; 直线与圆相交. (2) 代数法:联立直线方程和圆的方程,组成方程组,消元后得到关于x (或关于y)的一元二次方程, 设其判别式为△,则 O直线与圆相离;O直线与圆相切;O直线与圆 相交. 4. 直线被圆截得弦长的求法:(1)几何法:运用弦心距』、半径r及弦的一半构成直角三角形,计算弦 长期|=. 5. 两圆的位置关系:设两圆的圆心距为d ,两圆半径分别为*,弓,则 u>两圆相离; 两圆外切;。两圆相交;两圆内切; 两圆 内含, 6. 如果E(X],m,Z]), P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点, 则 |^| =. 二、典例分析 例1.求下列各圆的方程: (1) 圆心为点M(—5,3),且过点A(-8,-l): (2) 过三点 A(-2,4),8(-1,3),C(2,6). 例2.根据下列条件求圆的方程: (1) 经过坐标原点和点P (1,1),并且圆心在直线2x+3y+l=0上; (2) 已知一圆过P (4,-2)、Q(-l,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4后,求圆的方程. 例3.已知点P (x, y)是圆(x+2)2+y2=l上任意一点.求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小 值. 例4.圆x寸8内一点P (-1, 2),过点P的直线1的倾斜角为a ‘直线1交圆于A、B两点.⑴当-学 时,求AB的长; (2)当弦AB被点P平分时,求直线1的方程. 三、课后练习题 1. 在空间直角坐标系中点P(1, 2, 3)关于平面xoy对称点的坐标是 A(-1, 2, 3) B (1, -2, 3)C(1, 2, -3) D (-1, -2, -3) 2. 已知两圆方程为^ + y2+2x + 8y —8 = 0,^ + y2—4x —4y —1 = 0,则两圆的位置关系是 A内切 B 外切 C 相交D 相离 3. 已知过点M(-3, -3)的直线/被圆x2 + y2+4y-21 = 0所截得的弦长为4右,则直线/的方程是() Ax + 2y + 9 = 0 或 2x—y + 3 = 0B2x+y+ 9 = 0或 x —2y — 3 = 0 Cx + 2y+ 9 = 0或 2x+y+ 9 = 0D2x-y + 3 = 0或 x —2y —3 = 0 4. 直线x-y + l = Q被圆x2+y2-2x-4y + l = 0截得的弦长是 5. 已知点 A (2, 3, 5), B (3, 1, 4),则\AB\= . 6. 已知点A (-2,-2), B (-2, 6), C (4,-2);点P在Z\ABC的内切圆上运动,则] |pa|2+|p5|2+|pc|2 的最小值是. 7. (本题满分12分)已知圆经过点A (1, 1), B (2, -2),且圆心在直线x —y + l = 0上,求此圆的方程。 8. (本题满分14分)已知圆C过三点O (0, 0), M (1,1), N (4, 2) (1) 求圆C的方程; 求圆C的圆心坐标及半径。 圆与方程复习(答案) 一、知识点: 1. 圆的标准方程(x-a)二、典例分析 例1.求下列各圆的方程: 圆心为点M(-5,3),且过点A(-8,-l): 过三点 A(-2,4),B(-1,3),C(2,6). 解:(1) (x + 5)~ + (v — 3)2 = 25 ; (2) x~ + y2 —10 v + 20 = 0. 例2.根据下列条件求圆的方程: (1)经过坐标原点和点P (1,1),并且圆心在直线2x+3y+l=0上; +(y-b)2 = r2, 圆的一般方程x2 + y2+Dx + Ey + F = 0 (£>2+E2-4F>0). 2. 点P(x0,y0)与圆3 — a)。+ (y —勿2 =产的位置关系: (1)点在圆内(x-tz)2 +(y-&)2 < r2 (2)点在圆上 r O直线与圆相离;d = r O直线与圆相切;d < r。直线与圆相交. (2) 代数法:联立直线方程和圆的方程,组成方程组,消元后得到关于x (或关于_y)的一元二次方程, 设其判别式为△,则△两圆相离;d = r1 + r2<^ 两圆外切;| n -「2 |< d 两圆内切;两圆内含. 6. 如果Px(x,, V,,z,), P,(x2,y2,z2)是空间中任意两点, 贝听一 迎)2 +(卜1 一,2)2 +(Z] — Ze)?. (2)已知一圆过P (4,-2)、Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为邙,求圆的方程.解(1)显然, 所求圆的圆心在0P的垂直平分线上,0P的垂直平分线方程为:x+y-1=0.解方程组“+yT =。得圆 |2x + 3y + l = 0 心C的坐标为(4, -3).又圆的半径r=|0C|=5, 所以所求圆的方程为(x-4) 2+(y+3)2=25. (2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0① 将P、Q点的坐标分别代入①得: UD-2E+F = -20② [Z)-3E-F = 1O(3) 令x=0,由①得y2+Ey+F=0④ 由 I y~y21 =4 73 ,所以(y-y2) 2= (yi+y2) 2-4yiy2=E2-4F=48⑤ 解②、③、⑤组成的方程组得 D=-2, E=0, F=-12或D=-10, E=-8, F=4, 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10 x~8y+4=0. 例3.已知点P (x, y)是圆(x+2)2+y2=l上任意一点.求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小 值. 解:圆心C (-2, 0)到直线3x+4y+12=0的距离为d=^Z吾竺旦M =匕 7