高中数学推理与证明
学生姓名 教师姓名 陈传波 班主任 日期 时间 年级 课时 教学内容 推理与证明 【高考考情解读】1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用;直接证明和间接 证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法,常与函数、数列、不等式、解析几何等综 合命题.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.考查 “归纳一猜想一证明”的模式,常与数列结合考查.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、 不等式等内容联合考查,多以填空题的形式出现,难度中等;而考查证明问题的知识面广, 涉及知识点多,题目难度较大,主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力,难度较大. 瞄准高考 主干知识梳理 1. 合情推理 (1)归纳推理 ① 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ② 归纳推理的思维过程如下: 实验、观察 -概括、推广一猜测一般性结论 ⑵类比推理 ① 类比推理是由特殊到特殊的推理 ② 类比推理的思维过程如下: 观察、比较 一联想、类推一猜测新的结论 2. 演绎推理 (1) “三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ① 大前提——已知的一般性原理. ② 小前提——所研究的特殊情况. ③ 结论一根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2) 合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的 推理;类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的 结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提 和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确. 3. 直接证明 (1)综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论,则综合法 可用框图表示为 _。1习0| _。2习。3| _ …_ QQQ (2)分析法 用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为 底可一恒巫]-叵巫得到一个明显成立的条件 4. 间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定一^推理一否定”,即从否定结论开始,经过正 确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命 题“若p则的过程可以用如图所示的框图表示. 肯定条件P ,导致逻、 “既力又「q“ “若P则q” 否定结论q 1辑矛盾* 为假 为真 5. 数学归纳法 数学归纳法证明的步骤 (1)证明当n取第一个值物(roEN*)时结论成立. ⑵假设n=k(k^N*,且k^no)时结论成立,证明n=k+1时结论也成立. 由(1)(2)可知,对任意n^no,且住NW,结论都成立. 解析高考 热点分类突破 考点一归纳推理 【例]I在数列{b>0), Fi、F2是双曲线的两个 焦点,P为双曲线上的一个动点,过形作ZFiPF2的 的垂线,垂足为M,则 0M的长为定值. 考点三直接证明与间接证明 【例3】已知数列{”“}满足:ai=* 3(1建“+】)= ¥尸0j,第好任。(”习);数列{膈满足: /?“=房+1—房(“N1). (1) 求数列{《,}, {»“}的通项公式; (2) 证明:数列{“,}中的任意三项不可能成等差数列. 探究提高(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可. (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法,我们常用分析法寻找解决问题的突破 口,然后用综合法来写出证明过程,有时候,分析法和综合法交替使用. ,2 变式训练3.己知数列{。〃}和{/?〃}满足:01=2,。〃+1=郭+乃一4, /?〃=(—1)〃(q〃—3“+21), 其中4为实数,〃为正整数. ⑴对任意实数人,证明:数列0,}不是等比数列; (2)试判断数列{膈是否为等比数列. 考点四数学归纳法 【例4】已知数列{“}满足勿=1, \j2n+1. 探究提高(1)用数学归纳法证明不等式问题时,从n=k到“=k+1的推证过程中,证明 不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等,有时还要考虑与原不等式等 价的命题,运用放缩法时,要注意放缩的“度“. (2)用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等 式,按要求证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.对第二类形式往往先对 “取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个时值开始都成 立的结论,再用数学归纳法证明. 变式训练气已知数列{a“}是各项均不为0的等差数列,S”为其前〃项和,且