高中数学推理与证明

学生姓名 教师姓名 陈传波 班主任 日期 时间 年级 课时 教学内容 推理与证明 【高考考情解读】1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接 证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综 合命题.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.考查 “归纳一猜想一证明”的模式，常与数列结合考查.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、 不等式等内容联合考查，多以填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广， 涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大. 瞄准高考 主干知识梳理 1. 合情推理 1归纳推理 ① 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ② 归纳推理的思维过程如下 实验、观察 -概括、推广一猜测一般性结论 ⑵类比推理 ① 类比推理是由特殊到特殊的推理 ② 类比推理的思维过程如下 观察、比较 一联想、类推一猜测新的结论 2. 演绎推理 1 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括 ① 大前提已知的一般性原理. ② 小前提所研究的特殊情况. ③ 结论一根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 2 合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的 推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的 结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提 和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确. 3. 直接证明 1综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法 可用框图表示为 _。1习0| _。2习。3| _ _ QQQ 2分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 底可一恒巫］-叵巫得到一个明显成立的条件 4. 间接证明 反证法的证明过程可以概括为否定一推理一否定”，即从否定结论开始，经过正 确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定即肯定原命题的过程.用反证法证明命 题“若p则的过程可以用如图所示的框图表示. 肯定条件P ，导致逻、 “既力又「q “若P则q” 否定结论q 1辑矛盾* 为假 为真 5. 数学归纳法 数学归纳法证明的步骤 1证明当n取第一个值物roEN*时结论成立. ⑵假设nkkN*,且kno时结论成立，证明nk1时结论也成立. 由12可知，对任意nno,且住NW,结论都成立. 解析高考 热点分类突破 考点一归纳推理 【例］I在数列｛”｝中，若112, 226,且当UN*时，ch2是a„-ani的个位数字，则 2如图所示有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上 全部移到另一根针上. 213 I A I a. 每次只能移动一个金属片； b. 在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将个金 属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为耐. 则①/□；②仲. 考点二类比推理 【例21 1在平面几何中有如下结论若正三角形ABC的内切圆面积为外接圆面积为 S2,则推广到空间几何可以得到类似结论若正四面体ABCD的内切球体积为V, 02 4 外接球体积为V2,则3. 2 2 2椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题AB是椭圆5 b2 1。＞。＞0的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则koM・kAB_.那么对 于双曲线则有如下命题A3是双曲线手一la＞0,力＞0的不平行于对称轴且不过原 点的弦，M为AB的中点，则koM-kAB. 探究提高类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性， 有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差 数列与等比数列的类比；也可以由解题方法上的类似引起，当然首先是在某些方面有一 定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类.一般来说，高考中的类比问题多发 生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三 角形与三棱锥的纵向类比等. 变式训练七1现有一个关于平面图形的命题，如图，同一个平面内有 两个边长都是。的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这|\ 两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的 正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 22 ⑵命题p已知椭圆切左1*0，Fl、凡是椭圆的两个焦点，F为椭圆上的一个 动点，过形作ZFiPF2的外角平分线的垂线，垂足为M,则的长为定值.类比此 命题，在双曲线中也有命题g已知双曲线乒一金lab0, Fi、F2是双曲线的两个 焦点，P为双曲线上的一个动点，过形作ZFiPF2的 的垂线，垂足为M,则 0M的长为定值. 考点三直接证明与间接证明 【例3】已知数列｛”“｝满足ai* 31建】 尸0j,第好任。”习；数列｛膈满足 /房1房N1. 1 求数列｛,｝, ｛｝的通项公式； 2 证明数列｛,｝中的任意三项不可能成等差数列. 探究提高1有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可. 2综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破 口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用. ,2 变式训练3.己知数列｛。〃｝和｛/〃｝满足012,。〃1郭乃一4, /〃1〃q〃321, 其中4为实数，〃为正整数. ⑴对任意实数人，证明数列0,｝不是等比数列; 2试判断数列｛膈是否为等比数列. 考点四数学归纳法 【例4】已知数列｛“｝满足勿1, 71 2]]. 1 求数列｛,｝的通项公式； 21 2 若1,且 P“1Zi13・1M-1，求证Pn\j2n1. 探究提高1用数学归纳法证明不等式问题时，从nk到k1的推证过程中，证明 不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等，有时还要考虑与原不等式等 价的命题，运用放缩法时，要注意放缩的度. 2用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式一是直接给出不等 式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往先对 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个时值开始都成 立的结论，再用数学归纳法证明. 变式训练气已知数列｛a“｝是各项均不为0的等差数列，S”为其前〃项和，且