《平行线及相交线》综合指导
《平行线及相交线》综合指导 一、掌握知识要点 1. 通过生活中的实例学习余角、补角、对顶角,认 识相交线所成的角及其基本结论. 2. 通过观察、操作,探索直线平行的条件,并自然引 入“三线八角“. 3. 探索平行线的特征,加深对平行线的理解. 4. 用尺规作线段和角,学习基本作图知识. 5. 平行线条件与特征对比.研究几何图形常常有两个方 面的问题,一是要研究图形的“条件“,二是要研究图形的 特征.对于平行线的特征与条件,一是请同学们通过列表格 的形式进行对比,如下表: 二是可以从以下几个方面来区别: (1)从顺序来看:虽然特征与条件所用的文字完全相 同,但它们的顺序颠倒了,这正是它们之间的本质区别. (2)从结构来看:平行线的特征的前提条件是向你指 明某一图形具有什么特点(即属于哪一种图形),结论是具 有这样特点的图形的角之间所具有的某种关系;而平行的条 件正好相反,其前提条件是告诉你一个图形的角之间所具有 的某种关系,结论是这个图形是什么样的图形. (3)从意义来看:平行线的特征是两直线“平行“以 后才有的“特征“,即在两直线平行的“已知“条件下得出 的结果;而平行线的条件是判定两直线平行,即在某些“已 知”条件下,得到两直线平行的结果. (4)从作用来看:平行线的特征是作为说明两个角相 等或互补的依据;而平行线的条件是说明两直线平行的依 据. (5)从数和形来看:如果题目要说明“数量关系”, 用特征;如果要说明“图形类型“,用条件.请同学们记住 下列口诀:“已知平行用特征,要证平行用条件”. 6. 平移问题 (1)概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一 定的距离,这样的图形运动称为平移. (2)性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过 平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等, 对应角相等. (3)简单平移作图:作平移作图,一般选择一些关键 点,比如多边形,就可以选择这个多边形的所有顶点,把顶 点全部进行平移,得到了它们相应的对应点,然后再把对应 点连接起来,便是平移后得到的图形. 二、把握重点、难点、考点 重点:能在具体情景中找到余角、补角、对顶角;会用 尺规作一个角或线段等于已知角或线段;掌握直线平行线的 条件以及平行线的特征.正确理解平移的概念、性质以及简 单的平移作图问题. 难点:经过观察、操作、想象、推理、交流等活动,进 一步发展空间观念和推理能力,初步学会有条理表达. 考点:本章考试的形式主要有三种: 1. 概念型考题:主要考查相交线和平行线的定义、性 质、定理,常以选择题为主要题型; 2. 计算型考题:主要考查平行线的性质;互余、互补角 的性质,常以填空题为主要题型; 3. 操作画图题:主要考查图形的平移、轴对称等知识; 4. 开放型考题:主要考查学生的探究能力,常以选择 题为主要题型. 三、辨析易混、易错问题 1. 对顶角的概念理解不透 例1当光线从空气射入水中,光的传播方向发生了改变, 这就是折射现象(如图1),图中匕1与匕2是对顶角吗? 错解:Z1与匕2是对顶角. 正解:匕1与匕2不是对顶角,尽管匕1与匕2有公共顶 点,但匕1与匕2并非两条直线相交产生的角,另外匕2的两 条边也不是匕1两条边的反向延长线. 2. 对平行线判定不准确 例2如图2,由下列条件可判定哪两条直线平行? (1) Z1 = Z3; (2) Z2=Z4. 错解:(1)由Z1 = Z3可判定DC//AB; (2) 由 Z2=Z4 可判定 DA//CB. 剖析:匕1与匕3是AD、CB被AC所截得的内错.若匕1 = Z3,则可判断出被截两线DA、CB平行而与DC、AB无关. 正解:(1)由Z1 = Z3可判定DA//CB. (2)由 Z2=Z4 可判定 DC〃AB. 3. 对平行线的特征理解不透 例3同位角一定相等吗? 错解:相等. 剖析:同位角、内错角、同旁内角仅仅反映两角之间的 位置关系,它们没有确定的数量关系,如图3,匕1与匕2是 同位角,但它们不等,只有在“两条平行线被第三条直线所 截的前提下“,同位角才相等,同样也只有在这个前提下, 内错角相等,同旁内角互补. 正解:不一定相等. 4. 尺规作图的步骤掌握不牢,理论知识理解不深入 例4如图4,以B点为顶点,射线BC为一边,利用尺规 作ZEBC使得ZEBC=ZA, EB与AD一定平行吗? 错解:平行. 剖析:得到平行这个错误结论是因为作出的ZEBC=ZA 是如图4 (1)这种情况,实际以BC为一边,ZEBC也可以 在射线AB的下方,这时EB和AD是不平行的. 正解:此题ZEBC有两种情况,正确作法如图4 (2), EB不一定与AD平行,ZEBC与匕FBC都是所求与ZA相等的 角. 四、领悟学习方法 1. 本章的学习中角贯穿于始终,首先请同学们注意区 分角,当两直线相交时就产生了补角和对顶角;当三条直线 交于一点且其中两条直线互相垂直时,就产生了互余角;当 两条直线被第三条直线所截时,就产生了同位角、内错角、 同旁内角. 2. 在学习过程中,要结合图形去理解概念,使概念具 体化、形象化,理解清楚与概念相应的图形,学会看图、识 图和画图. 3. 在本章的学习中,同学们应善于动手实践,画一画、 剪一剪、量一量,并在整个过程中进行思考和简单的推理, 培养自己的动手实践能力. 五、赏析典型问题 例5已知平面内四条直线共有三个交点,则这四条直线 中最多有几条平行线? 分析:若四条直线两两不相交,则此时四条直线相互平 行,且没有交点;若四条直线中有三条直线相互平行,则此 时恰好有三个交点;若四条直线中有两条直线相互平行,另 两条不平行,则此时有三个交点或五个交点;若四条直线中 有两条直线相互平行,另两条也平行,但它们之间相互不平 行,则此时有四个交点;若四条直线中没有平行线,则此时 的交点是一个或四个或六个.综上,这四条直线中共有三条 平行线. 例6如图5,点E在直线DF上,点B在直线AC ±,若 ZAGB=ZEHF, ZC=ZD,试判断ZA与/F的关系,并说 明理由. 分析:从图中可以猜测ZA=ZF,但题目没有告诉 DF〃AC,所以需要根据已知条件说明DF〃AC. 解:ZA=ZF.理由: 因为 ZAGB=ZDGF, ZAGB=ZEHF, 所以ZDGF=ZEHF,所以 BD〃CE, 所以ZC=ZABD,又ZC=ZD, 所以ZD=ZABD,所以 DF〃AC,所以ZA=ZF. 例7有三条直线a, b, c,且①a〃b,②b〃c,(Da〃c, ④alb,⑤blc,⑥ale中总有成立的,请你写出尽可能多 的正确结论. 分析:此题属于条件、结论全开放的题目,由给出的这 些条件让同学们自己组装正确的结论,答案不唯一,如(1) 若①②成立,则③成立;(2)若①⑤成立,则⑥成立;(3) 若②③成立,则①成立等,请同学们想一想,你还能写出哪 些正确的结论,请你试一试吧! 例8如图6,有一条小船, (1)若把小船平移,使点A平移到点B,请你在图中画 出平移后的小船; (2)若该小船先从点A航行到达岸边L的点