241抛物线的标准方程
2. 4.1抛物线的标准方程 教学目标: 1. 掌握抛物线的定义和标准方程及其推导过程,理解抛物线中的基本量; 2. 掌握求抛物线的标准方程的基本方法; 3. 能够熟练画出抛物线的草图,进一步提高学生“应用数学”的水平. 重点难点: 能根据已知条件求抛物线的标准方程. 教学方法: 讲授法、讨论法. 教学过程: 一、复习引入 1. 回顾椭圆和双曲线的定义. 2. 生活中抛物线的引例. 3. 把一根直尺固定在图板上直线I位置,把一块三角板的一条直角边紧靠 着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的顶点A,取 绳长等于点A到直角边顶点C的长(即点A到直线I的距离),并且把绳子的 另一端固定在图板上的一点F,用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子 紧靠着三角板,然后将三角板沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条 曲线. 二、讲解新课 1. 抛物线定义: 平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定 点F叫做抛物线的焦点,定直线/叫做抛物线的准线. 注:(1)定点F不在这条定直线Z上; C2)定点F在这条定直线/上,则点的轨迹是什么? 2.推导抛物线的标准方程: 如图所示,建立直角坐标系,设KF = p ( p >0 ), 那么焦点F的坐标为(己,0),准线Z的方程为x = -E, 22 设抛物线上的点则有 “十+疽=1“?. 化简方程得y2 = 2px (p〉0). 方程y2 =2px (p〉0)叫做抛物线的标准方程. 3.抛物线的标准方程: 图形 隹占 八、、八、、 准线 标准方程 6 4 vp > “O- 相同点: (1)抛物线都过原点; (2)对称轴为坐标轴; (3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称;它们到 原点的距离都等于一次项系数绝对值的上,即里=2. 442 不同点: (1) 图形关于X轴对称时,X为一次项,y为二次项,方程右端为±2px、 左端为;图形关于y轴对称时,x为二次项,y为一次项,方程右端为±2py, 左端为子. (2) 开口方向在X轴(或轴)正向时,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上, 方程右端取正号;开口在x轴(或y轴)负向时,焦点在x轴(或y轴)负半轴 时,方程右端取负号. 三、讲解范例 例1已知抛物线标准方程,求它的焦点坐标和准线方程. (1) / =-20 x;(2) y = 6x2 ; (3) x2 = 2ax(a 0);(4) y = mx2(m 0). 例2求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是F (0, —3) (2) 经过点 A (-3, 2) 四、课堂练习 1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1) y2 = 8x(2) j=4y (3) 2丁+3了=0 (4) y = --x2 6 2. 根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1) 焦点是 F (-2, 0). (2) 准线方程是 (3) 焦点到准线的距离是4,焦点在y轴上. (4) 经过点 A (6, -2). 3. 抛物线x2=4y ±的点p到焦点的距离是10,求p点坐标. 点评:练习时注意, (1) 由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型; (2) p表示焦点到准线的距离,故p>0; (.3)根据图形判断解有几种可能. 五、小结 抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念. 六、课后作业