27两条直线的位置关系交点坐标及距离公式基础学生版
两条直线的位置关系、交点坐标与距离公式 【学习目标】 1. 掌握解方程组的方法,求两条相交直线的交点坐标. 2. 掌握两点间距离公式,点到直线距离公式,会求两条平行直线间的距离. 3. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件. 【要点梳理】 要点一:直线的交点 求两直线Ax + ^y + Ci =0(A3Ci ?0)与Ax + qv + C? =0(七32°2,0)的交点坐标,只需求两 直线方程联立所得方程组px + jB -v + Ci =0的解即可.若有当=五=9,则方程组有无穷多个解, 工 + B? y + C*2 — 0^2 B2 C*2 此时两直线重合;若有= —.则方程组无解,此时两直线平行;若有9?旦,则方程组有唯 A C2A> 一解,此时两直线相交,此解即两直线交点的坐标. 要点诠释: 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组,看方程组解的个数. 要点二:两直线平行的条件 设两条不重合的直线1撰2的斜率分别为 “.若4 ///2,则«与/2的倾斜角%与«2相等.由% = %, 可得tan% = tan%,即 馅=k2. 因此,若 /[ //12,则 kx = k2. 反之,若k{ =k2,则ijn2. 要点诠释: 1. 公式虹/〃2=佑=七成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为幻k2;②Z]与Z2不重合; 2. 当两条直线的斜率都不存在且不重合时,L与的倾斜角都是90° ,贝阳 //l2. 要点三:两直线垂直的条件 设两条直线4,12的斜率分别为kY,k2.若时匕,则灼• *2 = T • 要点诠释: 1. 公式IjOkl=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在; 2. 当一条垂直直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线也垂直. 要点四:两点间的距离公式 两点*31,N1),己(工2,丁2)间的距离公式为 | 耶 | = /(易一Xi / +(力一Vi/ • 要点诠释: 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离,它是所有求距离问题的基础,点到直线的距离和两 平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、 圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用,需熟练掌握. 要点五:点到直线的距离公式 点P(x0, y0)到直线Ax + By + C = Q的距离为d = 肌. VA2 + B2 要点诠释: (1) 点P(x0, %)到直线Ax+By + C = 0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离; (2) 使用点到直线的距离公式的前提条件是:把直线方程先化为一般式方程; (3) 此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 要点六:两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法:①转化为点到直线的距离问题,在任一条直线上任取一点,此点到另一 条直线的距离即为两直线之间的距离;②距离公式:直线Ax + By + Q =0与直线Ax + By + C2 =0的距 离为d = lQ-q| VA2 + B2 要点诠释: (1) 两条平行线间的距离,可以看作在其中一条直线上任取一点,这个点到另一条直线的距离,此点一 般可以取直线上的特殊点,也可以看作是两条直线上各取一点,这两点间的最短距离; (2) 利用两条平行直线间的距离公式d =甲—G I时,一定先将两直线方程化为一般形式,且两条直 线中X, y的系数分别是相同的,才能使用此公式. 【典型例题】 类型一、判断两直线的位置关系 例1.判断下列各组直线的位置关系,如果相交,求出相应的交点坐标: ⑴ 5x + 4y-2 = 0 [2x+ y + 2 = Q 2%-6^ + 3 = 0 1 1 y = —x + — 32 2x-6y = 0 (3) < y = 【总结升华】判断两直线的位置关系,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况. 举一反三: 【变式1】判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点坐标: (1) 11: 2x+y+3=0, “: x—2y—1=0; (2) Ii: x+y+2=0, ,2: 2x+2y+3=0; (3) 11: x—y+l=0; Izt 2x—2y+2=0. 类型二:两条直线平行 例2.已知oABCD的三个顶点的坐标分别是A (0, 1), B (1, 0), C (4, 3),求顶点D的坐标. 【总结升华】解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质,并用解析几何中的相关知识解 决.解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质,其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出 第四个顶点,这两种作法对应着两种解法. 举一反三: 【变式 1】已知匕经过 A (-3, 3), B (-8, 6), 12 经过,求证:/]//Z2. 【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是:当这两条直线均不与x轴垂直时,只需看它 们的斜率是否相等即可,反过来,两条直线平行,则隐含着这两条直线的斜率相等(当这两条直线均不与 x轴垂直时). 判定两条直线是否平行,只要研究两条直线的斜率是否相等即可,但是要注意斜率都不存在的情况, 以及两条直线是否重合. 类型三:两条直线垂直 例3.判断下列各题中4与,2是否垂直. (1) 4 经过点 A (-1, -2), B (1, 2),,2经过点 M (-2, -1), N (2, 1); (2) ,的斜率为一10,匕经过点A (10, 2), B (20, 3); (3) 匕经过点 A (3, 4), B (3, 10),匕经过点 M (-10, 40), N (10, 40). 【总结升华】 判断两条直线是否垂直的依据是:在这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜 率之积是否等于一1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行时,两条直线也垂直. 举一反三: 【变式11 四边形 ABCD 中,若 A (-7, 0), B (2, -3), C (5, 6), D (-4, 9),试判断四边 形ABCD的形状. 类型四、两点间的距离 例4.已知点A (1, 2), B (3, 4), C (5, 0),求证:ZXABC是等腰三角形. 【总结升华】利用两点间距离公式即可求出两点间的线段的长度,进而可解决相关问题,在运用两 点间距离公式时只需将两点坐标代入公式即可. 举一反三: ,试判断AABC的形状. 【变式1】己知△ABC的三个顶点是A (-1, 0), B (1, 0), cf-, 2 例5.已知直线/过点P (3, 1),且被两平行直线/i: x+y+l=0, “: x+y+6=0截得的线段长为5, 求直线/的方程. 【总结升华】从交点坐标入手,采用“设而不求” “整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解 题过程.这种解题思想方法在解析几何中经常用到,是需要掌握的技能.另外,灵活运用图形中的几何性 质