27两条直线的位置关系交点坐标及距离公式基础学生版

两条直线的位置关系、交点坐标与距离公式 【学习目标】 1. 掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2. 掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 3. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件. 【要点梳理】 要点一直线的交点 求两直线Ax y Ci 0（A3Ci 0）与Ax qv C 0（七322，0）的交点坐标，只需求两 直线方程联立所得方程组px jB-v Ci 0的解即可.若有当五9,则方程组有无穷多个解， 工 B y C*2 02 B2 C*2 此时两直线重合；若有 .则方程组无解，此时两直线平行；若有9旦，则方程组有唯 A C2A 一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二两直线平行的条件 设两条不重合的直线1撰2的斜率分别为 .若4 ///2，则与/2的倾斜角％与2相等.由 ， 可得tan tan，即 馅k2. 因此，若 /[ //12,则 kx k2. 反之，若k{ k2,则ijn2. 要点诠释 1. 公式虹/〃2佑七成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为幻k2;②Z]与Z2不重合； 2. 当两条直线的斜率都不存在且不重合时，L与的倾斜角都是90 ,贝阳 //l2. 要点三两直线垂直的条件 设两条直线4,12的斜率分别为kY,k2.若时匕,则灼 *2 T 要点诠释 1. 公式IjOkl-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2. 当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 要点四两点间的距离公式 两点*31，N1），己（工2，丁2）间的距离公式为 | 耶 | /（易一Xi / （力一Vi/ 要点诠释 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两 平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、 圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点五点到直线的距离公式 点Px0, y0到直线Ax By C Q的距离为d 肌. VA2 B2 要点诠释 1 点Px0, 到直线AxBy C 0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离； 2 使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线方程先化为一般式方程； 3 此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 要点六两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一 条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式直线Ax By Q 0与直线Ax By C2 0的距 离为d lQ-q| VA2 B2 要点诠释 1 两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一 般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； 2 利用两条平行直线间的距离公式d 甲G I时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直 线中X, y的系数分别是相同的，才能使用此公式. 【典型例题】 类型一、判断两直线的位置关系 例1.判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标 ⑴ 5x 4y-2 0 [2x y 2 Q 2-6 3 0 1 1 y x 32 2x-6y 0 3 y 【总结升华】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况. 举一反三 【变式1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标 1 11 2xy30, x2y10； 2 Ii xy20, ，2 2x2y30； 3 11 xyl0； Izt 2x2y20. 类型二两条直线平行 例2.已知oABCD的三个顶点的坐标分别是A 0, 1, B 1, 0, C 4, 3,求顶点D的坐标. 【总结升华】解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解 决.解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出 第四个顶点，这两种作法对应着两种解法. 举一反三 【变式 1】已知匕经过 A -3, 3, B -8, 6, 12 经过,求证/]//Z2. 【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它 们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等当这两条直线均不与 x轴垂直时. 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况， 以及两条直线是否重合. 类型三两条直线垂直 例3.判断下列各题中4与，2是否垂直. 1 4 经过点 A -1, -2, B 1, 2,，2经过点 M -2, -1, N 2, 1； 2 ，的斜率为一10,匕经过点A 10, 2, B 20, 3； 3 匕经过点 A 3, 4, B 3, 10,匕经过点 M -10, 40, N 10, 40. 【总结升华】 判断两条直线是否垂直的依据是在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜 率之积是否等于一1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两条直线也垂直. 举一反三 【变式11 四边形 ABCD 中，若 A -7, 0, B 2, -3, C 5, 6, D -4, 9,试判断四边 形ABCD的形状. 类型四、两点间的距离 例4.已知点A 1, 2, B 3, 4, C 5, 0,求证ZXABC是等腰三角形. 【总结升华】利用两点间距离公式即可求出两点间的线段的长度，进而可解决相关问题，在运用两 点间距离公式时只需将两点坐标代入公式即可. 举一反三 ,试判断AABC的形状. 【变式1】己知△ABC的三个顶点是A -1, 0, B 1, 0, cf-, 2 例5.已知直线/过点P 3, 1,且被两平行直线/i xyl0, xy60截得的线段长为5, 求直线/的方程. 【总结升华】从交点坐标入手，采用“设而不求” “整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解 题过程.这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能.另外，灵活运用图形中的几何性 质