20212022高中数学人教版必修5作业12应用举例系列三
1.2应用举例 时间:45分钟 分值:100分 A学习达标 一、选择题 1. 在某次测量中,在A处测得同一方向的3点的仰角为60。,。点的俯角为70。,则Z BAC等于() A. 10°B. 50° C. 120°D. 130° 详细分析:如图1, AZBAC= 130°. / A —— ¥70° C 图1 答案:D 2. 有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20。,现要将倾斜角改成10。,则斜坡长为() A. 1B. 2sinl0° C. 2cosl0°D. cos20° 详细分析:原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形,这个等腰三角形的 底边长就是所求. 答案:C 3. 甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆,甲观测的仰角为50。, 乙观测的仰角为40。,用4、刈分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有() A. di>daB . d\20 mD. 6?2tan40°可知,出<五 uiU2 答案:B 4, 海上A、B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60。角,从C岛望A岛 和B岛成45。角,则3、。之间的距离是() A. 1 Ch/3 n mile B峥 nmile C. 5y[6 n mile D. 5^/2 n mile 答案:C 5. 如图3所示,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、3两点分别测得树 尖的仰角为30。、45°,且A、B两点之间的距离为60 m,则树的高度为() A 60 m B 图3 A. 30 + 3Ch/3mB. 30 + 15, m C. 15+ 30^3 mD. 15 + 3^3 m 详细分析:由正弦定理可得 60PB sin45。- 30。= sin30。, 6屹30 PB = sinl5° = sinl5° h = PBsin45° = (30 + 3O^3)m.故选 A. 答案:A 6. 如图4所示,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15。,与灯塔S相距 20海里,随后货轮按北偏西30。的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则 货轮的速度为() 图4 A. 20(彖+ *)海里/小时 B. 20(*-彖)海里/小时 C. 20(76 + ^3)海里/小时 D. 20(*-,)海里/小时 详细分析:由题意可知匕NMS = 45。, ZMNS= 105°,则 ZMSN= 180° - 105° - 45° = 30°. 而 MS = 20, 在中,由正弦定理得 MN MS .20sin30°101010 sin30o_sinl05°, 一 sin 105° 一 sin60° + 45° 一 sin60°cos45。+ cos60°sin45° 一%+ 皿 -4- =10(^6-^2). 货轮的速度为10(^6-^2)-| = 20(^6-^2)(海里/小时),故选B. 答案:B 二、填空题 7. 一树干被台风吹断,折断部分与残存树干成30。角,树干底部与树尖着地处相距5 米,则树干原来的高度为. 详细分析: 如图5,树高为AB + BC的长. 在△ABC 中,AB = AC-tan60° = 5y[3, BC = ~^^= 10. 树高为(5寸+ 10)m. 8. 如图6所示,在平地上有一点A,测得一塔尖C的仰角为45°,向前行进a m到B 处又测得塔尖c的仰角为60°,则塔高是. 图6 、¥ ,e 八 a 卜,“工 ABBC . “ ABsin/CAB asin45。 详一田分析:在小ABC 中,sinZACB = sinZCAB - •- BC = SinZACB = sinl5° ^2^6 + ^2 厂 八工厂 出3+屯 \ a =(V3 + l)a,在 RtABCD 中,CD = BC sin60° =(寸 + l)a•十=—a. 3+a/3 答案: 9.某地电信局信号转播塔建在一山坡上,如图7所示,施工人员欲在山坡上A、3两 点处测量与地面垂直的塔CD的高,由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60。和45。,又 .米• 知的长为40米,斜坡与水平面成30。角,则该转播塔的高度是. 详细分析:根据题意,可得ZABC = 45°-30°= 15°, ADAC = 60° - 30° = 30°, A ABAC =150°, ZACB= 15°, :.AC = AB = 40^. 在八ADC 中,ZBDC= 120°, AC CD 由正弦定理,得sinl20° = sin30° .40sin30° 40^3 ■-CD= sinl20° = 3 答案: 三、解答题 10-如图8,货轮在海上以35 n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平角)为152。的方向航行.为了确定船位,在B点处观测到灯塔A的方位角为122°. 半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为32。.求此时货轮与灯塔之间的距离. 解:在△ABC 中,B= 152°- 122° = 30°, C= 180° - 152° + 32° = 60°, A = 180° - 30° - 60° 353535 =90°, BC-~, . .AC = ^-sin30° = 35 答:船与灯塔间的距离为T mile. 11.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔10000m, 速度为180km/h,飞机在A处先看到山顶的俯角为15。,经过420 s的水平飞行后到达B处, 又看到山顶的俯角为45。,如图9,求山顶的海拔高度.(取皿=1.4, 4 = 1.7) 15° 解:VA=15°, ZDBC = 45°, A ZACB = 30°, AB = 180 km/hx420 s = 21000(m). 21000r r :.BC=—xsinl5°= 10500(^/6-72), 9 : CD LAD, :.CD = BCsinZCBD = BCxsin45° =10500(“ - 1) = 10500(1.7- 1) =7350(m). 山顶的海拔高度为:10000-7350 = 2650(m). B创新达标 12. A、B、C是一直线公路上的三点,BC=2AB = 2km,从三点分别观测一塔P,从A 测得塔在北偏东60°,从B测得塔在正东,从C测得塔在东偏南30°,求该塔到这条公路的 距离. 解:如图10, ZPBC = a,在函书。与函么^中, 北 图10 r^_pc sin30° sina5 由正弦定理有4 J PA •••成=2. 、sin3O°-sinl8O°-a 设 = 贝lj PC =