[精品]八月复习号(18)
数学部分:不等式 知识精讲 1. 不等式的性质 比较两实数大小的方法——求差比较法 a>b。a — b>0 b = b b , Hb> c ,则 a > c。 说明:此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数;定理2称不等式的传递 性。 定理 3:若 a>b ,则 a + c>b + c . 说明:(1)不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向; (2)定理3的证明相当于比较a + c与Z? + c的大小,采用的是求差比较法; (3)定理3的逆命题也成立: (4)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边。 足理3推论:若a〉b,且c〉d,贝lla + c〉z? + d。 说明:(1)推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;(2)这一推论可以推广到任意有限个同向 不等式两边分别相加,即:两个或者更乏个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;(3) 同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;异向不等式:两个不等号方向相反的不等式。 足理4.如果a>b且c>0,那么ac>bc ■.如果a>b且cOHc>d >0,那么 aobd . 说明:(1)不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同…个负数,不等号方向改变;(2) 两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向;(3)推论1可以推广到任意有 限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分 别相乘,所得不等式与原不等式同向。 推论 2:如果 a > b > 0 ,那么 a“ >b“ (〃 e N且〃〉1)。 足理5:如果a >b> 0,那么沂〉时云(〃 e N且〃〉1)。 2. 基本不等式 定理1:如果a,beR,那么a2 +b2 > lab (当且仅当a = b时取“=”)。 说明:(1)指出定理适用范围:a,b w R ; (2)报调取“=”的条件a = b . 定理2:如果a,Z?是正数,那么- >4ab (当且仅当a = Z?时取“=”) 2 说明:(1)这个定理适用的范围•. a,b e R+ ;⑵我们称 土项a,b的算术平均数,称和)为a,b 2 的儿何平均数。即:两个正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数。 3. 常用的证明不等式的方法 (1)比较法 比较法证明不等式的一般步骤:作差一变形一判断一结论;为了判断作差后的符号,有时要把这个差 变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以 便判断其正负。 (£)综合法 利用某遢经证明过的不等式(例如算术平均数与儿何平均数的定理)和不等式的性质,推导出所要 证明的不等式,这个证明方法叫综合法;利用某些U经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自 成立的条件。 综合法证明不等式的逻辑关系是:AnB] nq 习…,及从已知条件A出发,逐 步推演不等式成立的必要条件,推导出所要证明的结论3。 (3)分析法 证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转 化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都己具备,那么就可以断定原不等式 成立,这种方法通常叫做分析法。 (1)“分析法”是从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判 定这些充分条件是否具备的问题,即“执果索因”; (2)综合过程有时正好是分析过程的逆推,所以常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写 出证明过程。 4. 线性规划 (1)平面区域 一般地,二元一次不等式Ax + By + C>Q在平面宜角坐标系中表示Ax + By + C = Q某一侧所有 点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式 Ax + By + C> 0所表示的平面区域时,此区域应包括边界宜线,则把直线画成实线。 说明:由于直线Ax + By + C = 0同侧的所有点的坐标(x,y)代入Ax + By + C,得到实数符号 都相同,所以只需在直线某一侧取一个特殊点(柘,无),从Ax0 + By0+C的正负即可判断 Ax + By + C>0表示直线哪一侧的平面区域。特别地,当C/0时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 x-4y 0 ,即t>0, 而旦,百线/往右平移u寸,f随之增大。 由图象可知,当百线/经过点A(5,2)时,对应的f最大, 当百线/经过点3(1,1)时,对应的f最小,所以,Zmax =2x5 + 2 = 12, zmin =2xl + l = 3„ 在上述引例中,不等式组是一组对变量的约束条件,这组约束条件都是关于的一次不等式, 所以乂称为线性约束条件。z = 2x+y是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式,叫目标函数。 又由于z = 2x+y是的一次解析式,所以乂叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线 性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴 影部分表示的二角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做 这个问题的最优解。 同步练习 •、选择题 1.若一2x~ + 5.Y — 2〉0,则 V4x~ — 4x +1 + 2|x — 2| 等丁■() A. 4x — 5 B. — 3 C. 3 D. 5 — 4x 2. 下列各对不等式中同解的是() A. 2x 1 与 x — 3 > 1 2211 D. (X + 1) > X3 与< — x + 1 X 3. 若2,+1<(:广2,则函数y = 2x的值域是() A. I —,2) B. [—,2] C. (-00,—] D. 12, +00) OO