周期性对称性幂函数图像与性质
授课类型 T周期性与对称性C藉函数图像T幕函数性质 教学内容 周期性 1、周期函数的定义 一般地,对于函数),= /“),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 /(x + T) = /(%),那么函数y = f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期 中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 显然,若『是函数的周期,则kT(kcz,k*G)也是/(、)的周期。如无特别说明,我们后面一般所说的周期是 指函数的最小正周期。 说明:1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。 推广:若/(x + ^z) = /(x + /7),则f(x)是周期函数,\b - a\是它的一个周期; +=则/⑴周期为 7; /(%)的周期、为To f(a)x)的周期为工。 CD 2、常见周期函数的函数方程: (1) 函数值之和定值型,即函数f(a + x) + f(b + x) = C(a b) 对于定义域中任意工满足/(a + x) + /(Z? + x) = C(a#fe),则有f[x-^(2b-2a)] = f(x),故函数/⑴的周期 是 T = 2(b-a) 特例:/(x + €z) = -/(^),则是以T = 2a为周期的周期函数; (2) 两个函数值之积定值型,即倒数或负倒数型 若 f(a + x)^f(b-^x) = C(a^b9 C可正可负),则得 f(x 4- 2a) = f[(x + 2a) + (2b - 2a)],所以函数 /⑴的 周期是T = 2(b-a) (3) 分式型,即函数广(工)满足+++ b) i-f(x + b) 由 fCE= Wk。“)得/V + 2o)=进而得 !-/(% + /?)f(x + 2幻 f(x + 2“)・f (x + 2幻=-1,由前面的结论得f⑴的周期是T = 4(/? - a) (4) 递推型: f(x += /(x) - f(x - a)(或 /(x) = f(x-a)-f(x-2a)),则 的周期 P=6o (联系数列) /(力+/ (工+。)+/ (>+&)/ (工+&0+/ (工+物)=/(力/ (尤+。)/ (尤+247)/ (尤+3。)/。+物),则 f(x)的周期 T=5q; > =/(尤)满足7V +。)= g(/(x)),(。壬0),其中g“(x) = g(x),则 =/⑴是以2。为周期的周期函数。 3、函数的对称性与周期性之间的联系:双对称性函数的周期性 具有多一重对称性的函数必具有周期性。即,如果一个函数有两条对称轴(或一条对称轴和一个对称中心、或 两个纵坐标相同的对称中心),则该函数必为周期函数。 相关结论如下: 结论1:两线对称型:如果定义在R上的函数/ (、)有两条对称轴x =。、x = b,即.尸(。+ x) = /(。一 x), 且f(b + x) = f(b-x),那么/O)是周期函数,其中一个周期T = 2\a-b 结论2:两点对称型:如果函数同时关于两点(o,c)、(b,c) ( gb )成中心对称,即f(a + ^) + f(a -x) = 2c和 f(b + x) + f(b-x) = 2c那么f(x)是周期函数,其中一个周期T = 2\a-b 结论3: 一线一点对称型:如果函数f(x)的图像关于点(Q,c)(Q/0 )成中心对称,旦关于直线x = h顷莉) 成轴对称,那么/(工)是周期函数,其中一个周期T = 4\a-b\ 例1、定义域为R的函数f(x)满足/(-4-x) = /(%+8),且y = / (尤+8)为偶函数,则f(x)() (A)是周期为4的周期函数(B)是周期为8的周期函数 (C)是周期为12的周期函数(D)不是周期函数 例2、定义在&上的函数/(%),给出下列四个命题: (1) 若/(x)是偶函数,则/(x + 3)的图象关于直线x = 3对称 (2) 若f(x + 3) = -/(3-工),则/(%)的图象关于点(3,0)对称 (3) 若f(x + 3) = f(3 — x),且/(x + 4) = /(4-x),则/(X)的一个周期为2。 (4) y = f(x+3)与> =f(3 - x)的图象关于直线x = 3对称。 其中正确命题的序号为 o 对称性 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 %1 函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中 的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 %1 中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备 对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 二、抽象函数的对称性 1、函数y =图象本身的对称性(自对称问题) (1) 轴对称 %1 y = f(x)的图象关于直线 x = a 对称 f(a + x) = f(a-x) f(x) = f(2a-x) = f(2a + x) %1 f(a + x) = f(b 一 x) 〉=的图象关于直线 x ==^± 对称. 22 特别地,函数y = f(x)的图像关于 > 轴对称的充要条件是/(%) = f(-x). (2) 中心对称 %1 ) =/(尤)的图象关于点(。,)对称f(a + %) + f(a - x) = 2b => f(x) + f(2a - x) = 2b 0 f(~x) + 7(26/ + x) = 2b %1 f(a 4- x) + f(b - x) = 2c u> y = f(x)的图象关于点(““,c)对称. 2 特别地,函数y = f(x)的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是/(x) + /(-x) = 0. (3) 对称性与周期性之间的联系 %1 若函数/•(])既关于直线X = Q对称,又关于直线X = b对称(Q。幻,则函数/.(])关于无数条直线对称,相邻对 称轴的距离为|。-。| ;且函数f(x)为周期函数,周期T = 2\b-a\; 特别地:若y = /(x)是偶函数,其图像乂关于直线工=。对称,则/(尤)是周期为2同的周期函数; %1 若函数/ (尤)既关于点(。,0)对称,又关于点(。,0)对称(a b),则函数f 3)关于无数个点对称,相邻对称中心 的距离为位―。|;且函数f(x)为周期函数,周期T = 2\b-a\; %1 若函数/•(、)既关于直线x = Q对称,又关于点(“0)对称(a^h),则函数fCr)关于无数个点和直线对称,相邻 对称轴和中心的距离为|。-。|,相邻对称轴或中心的距离为20-。| ;且函数f(x) 周期函数,周期T = 4\b-a\0 特别地:若y = f(x)是奇函数,其图像又关于直线工=。对称,则/(尤)是周期为4|。|的周期函数。 幕函数的图像与性质 l=j y— 【知识梳理】 1蓦函数的定义:形如y =