周期性对称性幂函数图像与性质

授课类型 T周期性与对称性C藉函数图像T幕函数性质 教学内容 周期性 1、周期函数的定义 一般地，对于函数， /“，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有 /x T /,那么函数y fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期 中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 显然，若『是函数的周期，则kTkcz,k*G也是/、的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是 指函数的最小正周期。 说明1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。 推广若/x z /x /7,则fx是周期函数，\b - a\是它的一个周期； 则/⑴周期为 7; /的周期、为To fax的周期为工。 CD 2、常见周期函数的函数方程 1 函数值之和定值型，即函数fa x fb x Ca b 对于定义域中任意工满足/a x /Z x Cafe,则有f[x-2b-2a] fx,故函数/⑴的周期 是 T 2b-a 特例/x €z -/,则是以T 2a为周期的周期函数； 2 两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型 若 fa xfb-x Cab9 C可正可负,则得 fx 4- 2a f[x 2a 2b - 2a],所以函数 /⑴的 周期是T 2b-a 3 分式型，即函数广工满足 b i-fx b 由 fCE Wk。得/V 2o进而得 -/ /fx 2幻 fx 2“・f x 2幻-1,由前面的结论得f⑴的周期是T 4/ - a 4 递推型 fx /x - fx - a或 /x fx-a-fx-2a,则 的周期 P6o 联系数列 /力/工。//工0/工物/力/尤。/尤247/尤3。/。物,则 fx的周期 T5q； /尤满足7V 。 g/x，。壬0，其中gx gx，则 /⑴是以2。为周期的周期函数。 3、函数的对称性与周期性之间的联系双对称性函数的周期性 具有多一重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴或一条对称轴和一个对称中心、或 两个纵坐标相同的对称中心，则该函数必为周期函数。 相关结论如下 结论1两线对称型如果定义在R上的函数/、有两条对称轴x 。、x b,即.尸。 x /。一 x, 且fb x fb-x,那么/O是周期函数，其中一个周期T 2\a-b 结论2两点对称型如果函数同时关于两点o,c、b,c gb 成中心对称，即fa fa -x 2c和 fb x fb-x 2c那么fx是周期函数，其中一个周期T 2\a-b 结论3 一线一点对称型如果函数fx的图像关于点Q,cQ/0 成中心对称，旦关于直线x h顷莉 成轴对称，那么/工是周期函数，其中一个周期T 4\a-b\ 例1、定义域为R的函数fx满足/-4-x /8,且y /尤8为偶函数，则fx A是周期为4的周期函数B是周期为8的周期函数 C是周期为12的周期函数D不是周期函数 例2、定义在上的函数/,给出下列四个命题 1 若/x是偶函数，则/x 3的图象关于直线x 3对称 2 若fx 3 -/3-工,则/的图象关于点3,0对称 3 若fx 3 f3 x,且/x 4 /4-x,则/X的一个周期为2。 4 y fx3与 f3 - x的图象关于直线x 3对称。 其中正确命题的序号为 o 对称性 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 1 函数轴对称如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中 的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 1 中心对称如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备 对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 二、抽象函数的对称性 1、函数y 图象本身的对称性自对称问题 1 轴对称 1 y fx的图象关于直线 x a 对称 fa x fa-x fx f2a-x f2a x 1 fa x fb 一 x 〉的图象关于直线 x 对称. 22 特别地，函数y fx的图像关于 轴对称的充要条件是/ f-x. 2 中心对称 1 /尤的图象关于点。，对称fa fa - x 2b fx f2a - x 2b 0 fx 726/ x 2b 1 fa 4- x fb - x 2c u y fx的图象关于点“,c对称. 2 特别地，函数y fx的图像关于原点0,0对称的充要条件是/x /-x 0. 3 对称性与周期性之间的联系 1 若函数/]既关于直线X Q对称，又关于直线X b对称Q。幻，则函数/.]关于无数条直线对称，相邻对 称轴的距离为|。-。| ；且函数fx为周期函数，周期T 2\b-a\； 特别地若y /x是偶函数，其图像乂关于直线工。对称，则/尤是周期为2同的周期函数； 1 若函数/尤既关于点。,0对称，又关于点。,0对称a b，则函数f 3关于无数个点对称，相邻对称中心 的距离为位。|；且函数fx为周期函数，周期T 2\b-a\； 1 若函数/、既关于直线x Q对称，又关于点0对称ah，则函数fCr关于无数个点和直线对称，相邻 对称轴和中心的距离为|。-。|,相邻对称轴或中心的距离为20-。| ；且函数fx 周期函数，周期T 4\b-a\0 特别地若y fx是奇函数，其图像又关于直线工。对称，则/尤是周期为4|。|的周期函数。 幕函数的图像与性质 lj y 【知识梳理】 1蓦函数的定义形如y