4.2.1直线与圆的位置关系
4. 2.1 直线与圆的位置关系 【教学目标】 1.能依据给定的直线、圆的方程,推断直线与圆的位置关系. 2.通过直线与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何问题的思想. 3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯. 【教学重难点】 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其推断方法. 教学难点:用坐标法判直线与圆的位置关系. 【教学过程】[来源:Zxxk.Com] ㈠情景导入、展示目标 问题: 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处,假如这艘轮船不变更航线,那么它是否会受到台风的影响? 运用平面几何学问,你能解决这个问题吗?请同学们动手试一下. ㈡检查预习、沟通展示 1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种? 2.怎样推断直线与圆的位置关系呢? ㈢合作探究、精讲精练 探究一:用直线的方程和圆的方程怎样推断它们之间的位置关系? 老师:利用坐标法,须要建立直角坐标系,为使直线与圆的方程应用起来简便,在这个实际问题中如何建立直角坐标系? 学生:以台风中心为原点O,东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为 轮船航线所在直线 l 的方程为 老师:请同学们运用已有的学问,从方程的角度来探讨一下直线与圆的位置关系. 让学生自主探究,相互探讨,探究学问之间的内在联系。老师对学生在学问上进行适当的补遗,思维上的启迪,方法上点拨,激励学生主动、主动的探究. 由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法: 方法一:代数法 由直线与圆的方程,得: 消去y,得 因为 所以,直线与圆相离,航线不受台风影响。 方法二:几何法 圆心(0,0)到直线的距离 所以,直线与圆相离,航线不受台风影响. 探究二:推断直线与圆的位置关系有几种方法? 让学生通过实际问题的解决,对比总结,驾驭方法. ①代数法: 由方程组, 得, ,则方程组有两解,直线与圆相交;,则方程组有一解,直线与圆相切;,则方程组无解,直线与圆相离. ②几何法: 直线与圆相交,则;直线与圆相切,则;直线与圆相离,则. 例1 已知直线l:x+y-5=0和圆C:,推断直线和圆的位置关系. 解析:方法一,推断直线与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解;方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系,推断直线与圆的位置关系. 解:(法一) 联立方程组,消y得 因为 所以直线与圆相交. (法二) 将圆的方程化为. 可得圆心C(2,-3),半径r=5. 因为圆心到直线的距离d=5, 所以直线与圆相离. 例2.求直线l:3x-y-6=0被圆C:截得的弦AB的长. 解析:可以引导学生画图分析几何性质. 解:(法一) 将圆的方程化为. 可得圆心C(1,2),半径r=. 圆心到直线的距离 弦AB的长. (法二) 联立方程组,消y得 得, 则, 所以直线l被圆C截得的弦AB的长 (法三) 联立方程组,消y得 依据一元二次方程根与系数的关系,有 直线l被圆C截得的弦AB的长 点评:强调图形在解题中的协助作用,加强了形与数的结合. ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d0 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0 【板书设计】 一. 直线与圆的位置关系[来源:学|科|网Z|X|X|K] (1)相交,两个交点; (2)相切,一个交点; (3)相离,无交点. 二.实例的解决 方法一 方法二 三. 推断直线与圆位置关系的方法 四. 例题 例1 变式1 例2 【作业布置】 导学案课后练习与提高 [来源:学#科#网Z#X#X#K] 4.2.1 直线与圆的位置关系学案 课前预习学案 一. 预习目标 回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征,初步了解用方程推断直线与圆的位置关系的方法. 二. 预习内容 1. 初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种? 2. 怎样推断直线与圆的位置关系呢? 三. 提出怀疑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些怀疑,请填在下面的表格中 怀疑点 怀疑内容 课内探究学案 一.学习目标 1.能依据给定的直线、圆的方程,推断直线与圆的位置关系. 2.通过直线与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何问题的思想. 3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯. 学习重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其推断方法. 学习难点:用坐标法判直线与圆的位置关系. 二. 学习过程 问题: 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处,假如这艘轮船不变更航线,那么它是否会受到台风的影响? 探究一:用直线的方程和圆的方程怎样推断它们之间的位置关系?[来源:Z§xx§k.Com] 1. 如何建立直角坐标系? 2. 依据直角坐标系写出直线和圆的方程. 3.怎样用方程推断他们的位置关系? [来源:Zxxk.Com] 探究二:推断直线与圆的位置关系有几种方法? 例1 已知直线l:x+y-5=0和圆C:,推断直线和圆的位置关系. 变式1.推断直线x-y+5=0和圆C:的位置关系. 例2.求直线l:3x-y-6=0被圆C:截得的弦AB的长. 三. 反思总结 位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 四.当堂检测 1.已知直线与圆相切,则的值为( ) A.8 B.-18 C.-18或8 D.不存在 2.设直线和圆相交于点A、B,则弦AB的垂直平 分线方程是 . 3.求经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y= -2x上的圆的方程. 参考答案:1.C 2. 3.解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 由题意