3.4知能演练轻松闯关
1.(2019·高考福建卷)下列不等式肯定成立的是( ) A.lg>lgx(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 解析:选C.当x=时,x2+=, ∴lg=lgx,故A不正确; 当sinxN. 3.若x、y是正数,且+=1,则xy有( ) A.最大值16 B.最小值 C.最小值16 D.最大值 解析:选C.∵x>0,y>0,∴+=1≥2=,∴≥4,∴xy≥16. 4.(2019·高考重庆卷)若函数f=x+在x=a处取最小值,则a=( ) A.1+ B.1+ C.3 D.4 解析:选C.f=x+=x-2++2. ∵x>2,∴x-2>0. ∴f=x-2++2≥2+2=4, 当且仅当x-2=,即x=3时“=”成立. 又f在x=a处取最小值.∴a=3. 5.设x,y满意x+4y=40,且x,y∈R+,则lgx+lgy的最大值是( ) A.40 B.10 C.4 D.2 解析:选D.∵lgx+lgy=lg(xy),x+4y=40, 又xy=≤2=×400=100. ∴(lgx+lgy)max=lg100=2.∴应选D. 6.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的最大值为________. 解析:x+≥a恒成立⇔min≥a, ∵x>1,即x-1>0, ∴x+=x-1++1≥2+1=3, 当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立. ∴a≤3即a的最大值为3. 答案:3 7.建立一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,若池底每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,这个水池的最低造价为________元. 解析:设水池的总造价为y元,池底长为x米,则宽为米,由题意可得: y=4×120+2·80=480+320· ≥480+320·2=480+320·2=1 760. 当x=,即x=2时,ymin=1 760元. 故当池底长为2米时,这个水池的造价最低,最低造价为1 760元. 答案:1 760 8.函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为________. 解析:函数y=a(1-x)(a>0,a≠1)图象恒过定点A(1,1),因为点A在直线mx+ny=1上,所以m+n=1. 又因为mn>0, 所以+=·1=(m+n) =2++≥2+2=4. 当且仅当m=n时,取等号. 答案:4 9.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++. 证明:∵a>0,b>0,c>0. ∴a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2, ∴2(a+b+c)≥2+2+2, 即a+b+c≥++, 由于a,b,c为不全相等的正实数,等号不成立. ∴a+b+c>++. 10.(1)已知x0,b>0,且a2+=1,求a的最大值. 解:(1)∵x0,y>0,+=1, ∴x+y=(x+y)=++10 ≥2+10=6+10=16. 当且仅当=,且+=1,即时等号成立, ∴当x=4,y=12时,(x+y)min=16. (3)a=a=·a ≤=,当且仅当a=, 即a=,b=时,a有最大值. 1.(2019·南宁调研)函数f(x)=的最大值为( ) A. B. C. D.1 解析:选B.令t=(t≥0),则x=t2, ∴f(x)==. 当t=0时,f(x)=0; 当t>0时,f(x)=g(t)==. ∵t+≥2,∴00,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n>0,则+的最小值为________. 解析:函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1),且点A在直线mx+ny+1=0上, ∴2m+n=1,m,n>0, ∴+=(+)·(2m+n) =4++≥4+2=8, 当且仅当,即时等号成立. 答案:8 3.某玩具所需成本费用为P元,且P=1 000+5x+x2,而每套售出的价格为Q元,其中Q(x)=a+(a,b∈R), (1)问:玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本费用最少? (2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本). 解:(1)每套玩具所需成本费用为= =x++5≥2+5=25, 当x=,即x=100时等号成立, 故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少. (2)设售出利润为w,则w=x·Q(x)-P =x- =x2+(a-5)x-1 000, 由题意得,解得a=25,b=30.