3.4知能演练轻松闯关

1．2019高考福建卷下列不等式肯定成立的是 A．lg＞lgxx＞0 B．sin x＋≥2x≠kπ，k∈Z C．x2＋1≥2|x|x∈R D.＞1x∈R 解析选C.当x＝时，x2＋＝， ∴lg＝lgx，故A不正确； 当sinx0时，sinx＋－2.故B不正确； 当x＝0时，＝1，故D不正确． ∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0， 即|x|－12≥0， ∴x2＋1≥2|x|x∈R肯定成立，故C正确． 2．设M＝a＋2a3，N＝log0.5x∈R，那么M、N的大小关系是 A．MN B．M＝N C．MN D．不能确定 解析选A.∵2a3， M＝a＋＝a－2＋＋24， N＝log0.5≤log0.5＝4，∴MN. 3．若x、y是正数，且＋＝1，则xy有 A．最大值16 B．最小值 C．最小值16 D．最大值 解析选C.∵x0，y0，∴＋＝1≥2＝，∴≥4，∴xy≥16. 4．2019高考重庆卷若函数f＝x＋在x＝a处取最小值，则a＝ A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 解析选C.f＝x＋＝x－2＋＋2. ∵x2，∴x－20. ∴f＝x－2＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－2＝，即x＝3时“＝”成立． 又f在x＝a处取最小值．∴a＝3. 5．设x，y满意x＋4y＝40，且x，y∈R＋，则lgx＋lgy的最大值是 A．40 B．10 C．4 D．2 解析选D.∵lgx＋lgy＝lgxy，x＋4y＝40， 又xy＝≤2＝400＝100. ∴lgx＋lgymax＝lg100＝2.∴应选D. 6．当x1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________． 解析x＋≥a恒成立⇔min≥a， ∵x1，即x－10， ∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立． ∴a≤3即a的最大值为3. 答案3 7．建立一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，若池底每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，这个水池的最低造价为________元． 解析设水池的总造价为y元，池底长为x米，则宽为米，由题意可得 y＝4120＋280＝480＋320 ≥480＋3202＝480＋3202＝1 760. 当x＝，即x＝2时，ymin＝1 760元． 故当池底长为2米时，这个水池的造价最低，最低造价为1 760元． 答案1 760 8．函数y＝a1－xa0，a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0mn0上，则＋的最小值为________． 解析函数y＝a1－xa0，a≠1图象恒过定点A1,1，因为点A在直线mx＋ny＝1上，所以m＋n＝1. 又因为mn0， 所以＋＝1＝m＋n ＝2＋＋≥2＋2＝4. 当且仅当m＝n时，取等号． 答案4 9．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证a＋b＋c＋＋. 证明∵a0，b0，c0. ∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2， ∴2a＋b＋c≥2＋2＋2， 即a＋b＋c≥＋＋， 由于a，b，c为不全相等的正实数，等号不成立． ∴a＋b＋c＋＋. 10．1已知x，求函数y＝4x－1＋的最大值； 2已知x，y∈R*，且＋＝1，求x＋y的最小值； 3已知a0，b0，且a2＋＝1，求a的最大值． 解1∵x，∴4x－50，故5－4x0. y＝4x－1＋＝－＋4. ∵5－4x＋≥2＝2， ∴y≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x＝，即x＝1或x＝舍时，等号成立，故当x＝1时，ymax＝2. 2∵x0，y0，＋＝1， ∴x＋y＝x＋y＝＋＋10 ≥2＋10＝6＋10＝16. 当且仅当＝，且＋＝1，即时等号成立， ∴当x＝4，y＝12时，x＋ymin＝16. 3a＝a＝a ≤＝，当且仅当a＝， 即a＝，b＝时，a有最大值. 1．2019南宁调研函数fx＝的最大值为 A. B. C. D．1 解析选B.令t＝t≥0，则x＝t2， ∴fx＝＝. 当t＝0时，fx＝0； 当t0时，fx＝gt＝＝. ∵t＋≥2，∴0≤， ∴fx的最大值为. 2．函数y＝logax＋3－1a0，a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n0，则＋的最小值为________． 解析函数y＝logax＋3－1a0，a≠1的图象恒过定点A－2，－1，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上， ∴2m＋n＝1，m，n0， ∴＋＝＋2m＋n ＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当，即时等号成立． 答案8 3．某玩具所需成本费用为P元，且P＝1 000＋5x＋x2，而每套售出的价格为Q元，其中Qx＝a＋a，b∈R， 1问玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少 2若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值．利润＝销售收入－成本． 解1每套玩具所需成本费用为＝ ＝x＋＋5≥2＋5＝25， 当x＝，即x＝100时等号成立， 故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少． 2设售出利润为w，则w＝xQx－P ＝x－ ＝x2＋a－5x－1 000， 由题意得，解得a＝25，b＝30.