3.1.3《概率的基本性质》
《概率的基本性质》 【学习目标】 1.说出事务的包含,并,交, 相等事务, 以及互斥事务, 对立事务的概念; 2能叙述互斥事务与对立事务的区分与联系 3. 说出概率的三个基本性质;会运用互斥事务、对立事务的概率性质求概率。 【重点难点】 教学重点:概率的加法公式及其应用,事务的关系与运算。 教学难点:概率的加法公式及其应用,事务的关系与运算,概率的几个基本性质 【学问链接】 1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系,集合可以进行交、并、补运算,你还 记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗? 2 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合(如连续抛掷两枚硬币),那么必定事务对应全集,随机事务对应子集,不行能事务对应空集,从而可以类比集合的关系与运算,分析事务之间的关系与运算,使我们对概率有进一步的理解和相识. 育网 【学习过程】 1. 事务的关系与运算 思索:在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事务: C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于4},D3={出现的点数小于6},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},等等. 你能写出这个试验中出现其它一些事务吗?类比集合与集合的关系,运算,你能发觉 它们之间的关系和运算吗? 上述事务中哪些是必定事务?哪些是随机事务?哪些是不行能事务? (1) 明显,假如事务C1发生, 则事务H肯定发生,这时我们说事务H包含事务C1,记作H C1。 一般地,对于事务A与事务B,如何理解事务B包含事务A(或事务A包含于事务B)?特殊地,不行能事务用Ф表示,它与任何事务的关系怎样约定? 假如当事务A发生时,事务B肯定发生,则BA ( 或AB );任何事务都包含不行能事务. [来源:Zxxk.Com] (2)分析事务C1与事务D1之间的包含关系,按集合观点这两个事务之间的关 系应怎样描述? 一般地,当两个事务A、B满意什么条件时,称事务A与事务B相等? 若BA,且AB,则称事务A与事务B相等,记作A=B. (3)假如事务C5发生或C6发生,就意味着哪个事务发生?反之成立吗? [来源:1ZXXK] 事务D2称为事务C5与事务C6的并事务(或和事务),一般地,事务A与 事务B的并事务(或和事务)是什么含义? 当且仅当事务A发生或事务B发生时,事务C发生,则称事务C为事务A与事务B的并事务(或和事务),记作 C=A∪B(或A+B). (4)类似地,当且仅当事务A发生且事务B发生时,事务C发生,则称事务C为事务A与事务B的交事务(或积事务),记作C=A∩B(或AB),在上述事务中能找出这样的例子吗? 例如,在掷骰子的试验中D2∩D3=C4 (5)两个集合的交可能为空集,两个事务的交事务也可能为不行能事务,即A∩B=Ф,此时,称事务A与事务B互斥,其含义是:事务A与事务B在任何一次试验中不会同时发生 例如,上述试验中的事务C1与事务C2互斥,事务G与事务H互斥。 (6)若A∩B为不行能事务,A∪B为必定事务,则称事务A与事务B互为对立事务,其含义是: 事务A与事务B有且只有一个发生. 思索:事务A与事务B的和事务、积事务,分别对应两个集合的并、交,那么事务A与事务B互为对立事务,对应的集合A、B是什么关系? 集合A与集合B互为补集. 思索:若事务A与事务B相互对立,那么事务A与事务B互斥吗?反之,若事务A与 事务B互斥,那么事务A与事务B相互对立吗? 2.概率的几个基本性质 思索1:概率的取值范围是什么?必定事务、不行能事务的概率分别是多少? 思索2:假如事务A与事务B互斥,则事务A∪B发生的频数与事务A、B发生的频数有什么关系?fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系?进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系? 若事务A与事务B互斥,则A∪B发生的频数等于事务A发生的频数与事务B发生的频数之和,且 P(A∪B)=P(A)+ P(B),这就是概率的加法公式. 思索3:假如事务A与事务B互为对立事务,则P(A∪B)的值为多少?P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系?由此可得什么结论? 若事务A与事务B互为对立事务,则P(A)+P(B)=1. 思索4:假如事务A与事务B互斥,那么P(A)+P(B)与1的大小关系如何? P(A)+P(B)≤1. 典型例题 例1 假如从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事务A)的概率是0.25,取到方片(事务B)的概率是0.25,问: (l)取到红色牌(事务C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事务D)的概率是多少? 解:(1)因为C= A∪B,且A与B不会同时发生,所以A与B是互斥事务,依据概率的加法公式,得 P(C)=P(A∪B)= P(A)+P(B)=0.5, (2)C与D也是互斥事务,又由于C∪D为必定事务,所以C与D互为对立事务,所以 P(D)=1- P(C)=0.5. 点评:利用互斥事务、对立事务的概率性质求概率[来源:学+科+网] 变式训练1:袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已知得到红球的概率是 1/3 ,得到黑球或黄球的概率是 5/12,得到黄球或绿球的概率也是5/12 ,试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少? 例2某射手进行一次射击,试推断下列事务哪些是互斥事务?哪些是对立事务? 事务A:命中环数大于7环; 事务B:命中环数为10环;事务C:命中环数小于6环;事务D:命中环数为6、7、8、9、10环. 事务A与事务C互斥,事务B与事务C互斥,事务C与事务D互斥且对立. 点评:学会推断互斥、对立关系 变式训练2:.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,视察正品件数与次品件数,推断 下列每件事务是不是互斥事务,假如是,再推断它们是不是对立事务。 (1)恰好有1件次品恰好有2件次品; (2)至少有1件次品和全是次品; (3)至少有1件正品和至少有1件次品; (4)至少有1件次品和全是正品 【学习反思】 1.事务的各种关系与运算,可以类比集合的关系与运算,互斥事务与对立事务的概念的外延具有包含关系,即{对立事务} {互斥事务}. 2.在一次试验中,两个互斥事务不能同时发生,它包括一个事务发生而另一个事务不发生,或者两个事务都不发生,两个对立事务有且仅有一个发生. 3.事务(A+B)或(A∪B),表示事务A与事务B至少有一个发生,事务(AB)或A∩B,表示事务A与事务B同时发生. 4.概率加法公式是对互斥事务而言的,一般地,P(A∪B)≤P(A)+P(B). 【基础达标】 1.某射手在一次射击训练中,射中10环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算该射手在一次射击中: (1)射中1