求二元函数极限的几种方法-二元函数极限定理

. . . .word 1.二元函数极限概念分析 定义 1 设函数f在2 DR上有定义， 0 P是D的聚点，A是一个确定的实数.如 果对于任意给定的正数，总存在某正数,使得0 0 (; )PUPD时，都有 ( )f PA, 那么称f在D上当 0 PP时，以A为极限，记 0 lim( ) PP P D f PA   . 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题假设函数( , )f x y在点 00 (,)xy处连续，那么 00 00 ( , )(,) lim( , )(,) x yxy f x yf xy  . 例 1 求 2( , )2f x yxxy 在点(1,2)的极限. 解： 因为 2( , )2f x yxxy 在点(1,2)处连续，所以 1 2 2 1 2 2 lim( , ) lim(2) 12 1 2 5. x y x y f x y xxy          例 2 求极限    22 1 , 1, 2 1 lim yx yx   ． 解： 因函数在   1 , 1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 . . . .word    22 1 , 1, 2 1 lim yx yx   = 3 1 ． 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进展恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例 3 求 0 0 24 lim x y xy xy    解： 0 0 24 lim x y xy xy    0 0 (24)(24) lim (24) x y xyxy xyxy      0 0 lim (24) x y xy xyxy      0 0 1 lim 24 1 . 4 x y xy        例 4   22 22 0, 0, 32 1)31)(21 ( lim yx yx yx    ． 解： 原式           2222 ,0,0 2222 1213112131 lim 2312131 x y xyxy xyxy         22 ,0,0 22 2222 16 lim 121312312131 x y x y xyxyxy    . . . .word 11 0 22 ． 2.3 利用等价无穷小代换 一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的 等价无穷小( ( , )0)u x y ，有 sin ( , )( , )u x yu x y； 2( , ) 1 cos ( , ) 2 ux y u x y；  ln 1( , )( , )u x yu x y；tan ( , )( , )u x yu x y；arcsin ( , )( , )u x yu x y； arctan ( , )( , )u x yu x y； ( , ) 1( , )1 n u x y u x y n ； ( , )1( , )u x yeu x y；同一元函 数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用 . 例 5 求 0 0 11 lim x y xy xy     解： 当 0 x ，0y 时，有0 xy. 1 11() 2 xyxy，所以 0 0 0 0 11 lim 1 () 2 lim 1 . 2 x y x y xy xy xy xy           . . . .word 这个例子也可以用恒等变形法计算，如： 0 0 0 0 0 0 11 lim 11 lim ( 11)( 11) 1 lim 11 1 . 2 x y x y x y xy xy xy xyxy xy               2.4 利用两个重要极限 ( , )0 sin ( , ) lim1 ( , ) u x y u x y u x y  ，  1 ( , ) ( , )0 lim1( , ) u x y u x y u x ye   它们分别是一元函数中两个重 要极限的推广. 例 6 求极限 2 1 lim(1) x x y x ya xy     . 解：先把极限化为 2 2 () 11 lim(1)lim (1) x x xy x y xyx y xx yaya xyxy         ，而 211 limlim, () (1) xx yaya x y xy xya y x      当 ,xya时 1 ,0 xy xy  ，所以 1 lim(1). xy x ya e xy    故原式= 2 () 1 1 lim (1) . x xy x y xy x ya a xy e         例 7 求 0 sin() lim x ya xy x   极限. . . . .word 解： 因为 sin()sin() . xyxy y xxy ，当0,xya时，0 xy ，所以 sin() 1 xy xy ，再利用极限四那么运算可得： 000 sin()sin()sin() limlim .lim .lim. xxyaxy yaya xyxyxy yya xxyxy   ·1=a. 这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 0 x ，ya时，0 xy  ，sin()xyxy. 所以， 00 sin() limlimlim. xxya yaya xyxy ya xx    2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论 例 8 求 3 0 0 11 lim()sincos x y xy xy    解:因为 3