北师大版九年级数学定理知识点汇总

北师大版初中数学定理知识点汇总北师大版初中数学定理知识点汇总[ [九年级九年级( (上册上册) ) 第一章第一章证明证明( (二二) ) ※等腰三角形的“三线合一” ：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两 个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于 30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于 60º的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：a2b2 c2（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于 30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。 （注意着重号的意义） ．．．．．．．．． ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。 （如图 1 所示， AA AO=BO=CO） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图 2 所示，OD=OE=OF) B 图 1 O C B 图 2 E D O C F 第二章第二章一元二次方程一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax2bxc  0（a、b、c 为 常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 ．．．．．． ※把ax2bx  c  0（a、b、c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系 数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 bb24ac ②公式法x （注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式） 2a ③分解因式法把方程的一边变成 0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘” ） ※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成 1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成(x  m)2 0的形式； ⑥两边开方求其根。 ※根与系数的关系：当 b2-4ac0 时，方程有两个不等的实数根； 当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2-4ac0 时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； ②当 k0）或向左（h0） 或向下 （k0，则当 x时，y 随 x 的增大  ．．．．．．． 2a2a 4acb24acb2bb ④最值：若 a0，则当 x=时，y 最小 ；若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点； b24ac=0 抛物线与 x 轴有 1 个交点； b24ac0 时，设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，则这两个点之间的距离： | AB|| x1 x 2 |(x 2  x 1 )2(x 1  x 2 )24x 1x2 b24ac 2化简后即为：| AB|(b 4ac  0) ------ 这就是抛物线与 x 轴的两交点之间的 |a| 距离公式。 第三章第三章圆圆 一. 车轮为什么做成圆形 ※1. 圆的定义： 描述性定义：在一个平面内， 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点A 随 之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点 O 叫做圆心；线段 OA 叫做半径； ．．．．． 以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆 O” 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫 ．． 做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫 ．．．． 做定圆。 ．． 对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面； ②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定 长）。 ※2. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则 ①点在圆上 d=r; ②点在圆内 dr. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点 与一个定点、的距离相等。 二. 圆的对称性: ※1. 与圆相关的概念： ①弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 ． 直径：经过圆心的弦叫做直径。 ．． ②弧、半圆、优弧、劣弧： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以 CD 为端点 ．．． 的弧记为“” ，读作“圆弧 CD”或“弧 CD” 。 半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 ．． 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 ．． 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) ．． ③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。 ．． ④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ．．． ⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ．． ⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ．．． ⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. ．．． ※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 ※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 ※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相 等。 推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组 量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三. 圆周角和圆心角的关系: ※1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成 360 份时,每一份的角都是 1°的圆心角, 相应的整个圆也被等分成 360 份,每一份同样的弧叫 1°弧. ※2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB= ,这是错 误的. ※3. 圆周角的定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. ※4. 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ※推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也 相等； ※推论 2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； ※四. 确定圆的条件: ※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一