北京交通大学至学学期几何与代数B期末考试试题A

北京交通大学北京交通大学 20062006 至至 20072007 学年第一学期几何与代数学年第一学期几何与代数 B B 期末考试试题期末考试试题 A A 北京交通大学北京交通大学 2006-20072006-2007 学年第一学期《几何与代数学年第一学期《几何与代数 B B 》》 期末考试试卷及评分标准期末考试试卷及评分标准( (A A) ) 一．填空题（本题满分 24 分，共 8 道小题，每道小题 3 分） 1．设矩阵，且，则______，______． 解： 2． 已知 4 阶方阵 解： 的行列式， 则行列式 ，所以 ，所以． ___________________． ． 3．设 解： ，则___________________． ，所以或． 4．设是 3 阶方阵，，是的伴随矩阵，则________． 解：． 5．若矩阵的秩，则的值为__________________． 解： 6．若 4 维列向量 均正交，则 解：. 1 / 9 ，因此 线性无关，又 . 非零且与 _____________________． 7．已知实二次型 取值范围为___________________． 正定,则实常数的 解：,，计算得，， ，整理得：. 8．2007 阶行列式 解： 二．计算题（每题二．计算题（每题 8 8 分，共分，共 5656 分）分） ___________________． ，所以应填：. 9．求过点，且与两直线与都相交的直线． 解：将两已知直线方程化为参数方程为 设所求直线与的交叉点分别为 和 …2 则、、三点共线，即 …4 解得 2 / 9 所以 ， …6 得的一个方向向量为. 所求直线的方程为： .…8 10．求直线绕轴旋转一周所得的曲面方程． 解：设直线上有一点，显然有. 旋转到达位置。 由于绕轴旋转，因此， 且和到轴的距离不会应为旋转而改 变.…3 因此 . 5 由于，故所求旋转曲面方程为 …8 11．设四阶方阵，求． 解： 3 / 9 … …3 ……… 应用数学归纳法，可以证明：…8 12．设 ⑴. ⑵. ， 可以由 可以由 ，，，问当取何值时， 线性表示，而且表示式唯一； 线性表示，但表示式不唯一． ，由此得线性方程组解：设 （Ⅰ） 其系数行列式 为 …4 ⑴.当且时，由系数行列式，知线性方程组（Ⅰ） 有唯一解，因此此时向量可以由 一．…6 ⑵.当 线性表示，而且表示式唯 时，方程组（Ⅰ）是齐次线性方程组，且其系数行列式 线性表示，但表，因此此方程组有无穷多组解，因此 可以由 示式不唯一． ⑶.当时，向量不能由线性表 示．…8 13．已知三阶矩阵的特征值为,设矩阵，求. 4 / 9 解：由三阶矩阵 矩阵，使 有特征值，所以可以相似对角化，即存在可逆 . …2 …4 所以， …6 …8 14．当、为何值时，线性方程组 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解． 解：利用增广矩阵 …2 5 / 9 当时，，此时，方程组有唯一 解；…4 当时， 若，则，此时，方程组无 解；…6 若，则，方程组无穷多组解，并且 所以，此方程组的通解为 …8 15． 已知二次型 求参数，以及此二次型所对应的矩阵 解：令，则 的特征值． 的秩为， 再由的秩为，所以 .…4 因此，二次型. 6 / 9 由特征方程 ，， ，可得 . …8 三．应用题（每题 10 分，共 20 分） 16．已知是矩阵的一个特征向量． ⑴.试确定参数、及特征向量所对应的特征值； ⑵.问是否相似于对角阵？说明理由． 解：由已知，设对应的特征向量为，则 …2 解得，， . …4 此时，，由特征方程，可得 7 / 9 . …6 将代入齐次线性方程组，有 …8 由 因此， ，知 不能相似于对角 对应的线性无关的特征向量秩为 . 阵.… 10 17．证明：存在一个正交变换，将下列二次型化成标准形： 并写出标准形的形式． 证明：二次型的实对称矩阵为 …3 根据特征方程 ， ，可得 ， .…6 因此，存在正交变换 形。…8 得到标准形为： .…10 8 / 9 ，使二次型化成标准 9 / 9