专题立体几何中的常见模型续和动点问题

专专 题题 补补 充充 之之 - - - - 立立 体体 几几 何何 中中 的的 常常 见见 模模 型型 和和 动动 点点 问问 题题 【学习目标学习目标】 1.继续上节课的常见模型； 2.掌握立体几何中的动点问题的基本处理方法立体几何中的动点问题的基本处理方法 【学习重点】动点问题的几种类型【学习重点】动点问题的几种类型 【学习过程】【学习过程】 一、接上节课（立体几何中的常见模型）：四．首尾连接的异面直线模型 例11.若异面直线a,b所成的角为60,AB是公垂线,E,F分别是异面直线a,b 上到 A,B 距离为 2 和 1 的两点,当EF 3时,线段 AB 的长 为 . 例 12. 已知在一个 60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分 别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，则CD的长为________． 五．害羞的异面直线模型 例 13. 在棱长都相等的四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值． 七．四个面都是直角三角形的模型 例 14.如图，ABAB是⊙O O的直径，PAPA垂直于⊙O O所在的平面，C C是圆周上 不同于A A, ,B B的一动点。 （1） （2） 求证：平面PACPAC  平面PBCPBC； 若PAPA   ABAB   2 2，过A A作AEAE   PBPB于E E，AFAF   PCPC于F F，求截面三角 形AEFAEF面积的最大值，以及此时C C点的位置（用BCBC的长表示）。 （3） 在第（2）问的条件下，求二面角A A  PBPB  C C的大小。 （4）在第（2）问的条件下求其外接球的体积。 八．三个面两两垂直的模型 例 15.已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分 别为 1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为▲ cm2．（注注 S 球  4π r2，其中r为球半径） 九．三垂线模型 例 16.看下面正方体中的两个问题。 十．从一点引射线，三线模型，看下面几个问题 先复习三余弦公式__________________. 例 17.看下面一个问题：自己画图。 二、立体几何中的动点问题 一、求动点轨迹问题 这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再 判断动点轨迹。04 年高考北京、天津、重庆都各有一个选择题考查了动点 轨迹问题。 例 1（天津 8）如图，定点A 和 B 都在平面内，定点P，PB ， C 是内异于 A 和 B 的动点，且PC  AC。那么，动点 C 在平面内的轨迹 是（） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 解析：由三垂线定理的逆定理得 ∵AC⊥PC 且 PC 在内的射影为 BC， ∴AC⊥BC.∴∠ACB=90 . ∴C 点的轨迹为以 AB 为直径圆，但除去 A、B 两点. 0 P A C 例 1 题图 B 二、动点与某点（面）的距离问题 例 2．正方体 ABCD  A 1B1C1D1 中，棱长为 a，E 是AA 1的中点， 在对角面 BB1D1D 上找一动点 M，使 AM+ME 最小. D 1 解析：  AC  BD,AC  BB1,BD  BB1 B,AC 面BB 1D1D.A 1 B 1 设 AC∩BD=O，则 AO=CO． ∴平面BB 1D1D 是线段 AC 的垂直平分面， M E D ∴C 是 A 关于平面 BB1D1D 的对称点。连 CE 交面 BB1D1D 于 M ， O A B 例 2 题 则 M 就是要求的点，这时 AM+ME 最小。又 AM=CM, ∴AM+ME 的最小值就是 CE 的长， 而CE  AC2 AE22a21a2 =3 a , 此 4 2 C 1 C 时 AM+ME 的最小值为3 a． 2 简评：本题先证明平面BB 1D1D 是线段 AC 的垂直平分面，然后利用 C 是 A 关于平面 BB1D1D 的对称点，所以 AM=CM, AM+ME 的最小值，即为 CM+ME 的最小值，即 CE 的长，所以 M 点为 CE 和平面 BB1D1D 的交点。 三、直线与平面（或直线）垂直问题 例 3．（湖北理 20）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为 矩形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，AB=3， BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点. （Ⅰ）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE⊥面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离. 解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A（0，0，0）、 B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0， 1 ，1）， 2 从而AC  ( 3,1,0),PB  ( 3,0,2).设AC与PB的夹角为θ，则 cos AC PB | AC || PB |  3 2 7  3 7 , 14 z P P D E C B 例 3 题图 A D N y C O x ∴AC 与 PB 所成角的余弦值为 3 7 . E 14 （Ⅱ）由于 N 点在侧面 PAB 内， A 故可设 N 点坐标为（x，O，z），则 1 NE  (x,,1 z)，由 NE⊥面 PAC 2 NE AP  0,可得，    NE AC  0. B 例 3 题图 （2） 1(x, ,1 z)(0,0,2)  0,z 1 0,  2∴ 即化简得 1 3x 0. (x, 1 ,1 z)( 3,1,0)  0.  2  2  3 x  6 z 1  即 N 点的坐标为( 33 ,0,1)，从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1，. 66 简评：本题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想 象能力和推理运算能力. 由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为（x，  3NEAP  0, O， z） ， 然后利用 NE⊥面 PAC， 有求得动点 N 的坐标为(,0,1). 6  NEAC  0. 四、直线与平面（或直线）平行问题 例 4.如图，已知在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中，∠ABC=600， PA=AC=a， PB=PD=2a 点 E 在 PD 上，且 PE：ED=2：1.在棱 PC 上有一动 点 F，当动点 F 移动到何处时，使 BF∥平面 AEC 证明你的结论。 解析：由题意知 PA⊥平面 ABCD，以 A 为坐标原点，直线 AD、AP 分别 为 y 轴、z 轴，过点A 垂直平面 PAD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系。 P z 则 A（0，0，0）、B（ 3311 a，-a，0）、C（a，a，0）、D（0，