以圆为背景的相似三角形的计算与证明

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 以圆为背景的相似三角形的计算与证明 【经典母题】 如图 Z13－1，DB 为半圆的直径，A 为 BD 延长线上的一点，AC 切半圆于点 E，BC⊥AC 于点 C，交半圆于点 F.已知 AC＝12，BC＝9，求 AO 的长． 图 Z13－1经典母题答图 解：如答图，连结 OE，设⊙O 的半径是 R，则 OE＝OB＝R. 在 Rt△ACB 中，由勾股定理，得 AB＝AC2＋BC2＝15. ∵AC 切半圆 O 于点 E，∴OE⊥AC， ∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC， ∴△AEO∽△ACB， OEAOR 15－R 45 ∴BC＝AB，∴9＝ 15 ，解得 R＝ 8 ， 75 ∴AO＝AB－OB＝15－R＝ 8 . 【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得 到相似三角形，利用比例线段求 AO 的长． 【中考变形】 1．如图 Z13－2，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，O 是 AC 边上的一点，以 O 为圆心，OC 为半径的圆与 AB 相切于点 D，连结 OD. (1)求证：△ADO∽△ACB； (2)若⊙O 的半径为 1，求证：AC＝AD·BC. 证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴OD⊥AB， 1 图 Z13－2 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 ∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A， ∴△ADO∽△ACB； ADOD (2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴AC＝BC， ∴AD·BC＝AC·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC. 2．[2017·德州]如图 Z13－3，已知 Rt△ABC，∠C＝90°，D 为 BC 的中点，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 E. (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若 AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求 AE 的长． 图 Z13－3中考变形 2 答图 解：(1)证明：如答图，连结 OE，EC，∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D 为 BC 的中点， ∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2， ∵OE＝OC，∴∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB， ∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE 是⊙O 的切线； (2)由(1)知∠BEC＝90°， ∵在 Rt△BEC 与 Rt△BCA 中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA， ∴△BEC∽△BCA，∴BE BC BC＝BA， ∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2， 设 AE＝x，则 BE＝2x，BA＝3x， 2 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 ∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得 x＝6，即 AE＝6. 3．如图 Z13－4，已知 AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB，连结 OC，弦 AD∥OC，直 线 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证：直线 CD 是⊙O 的切线； (2)若 DE＝2BC，求 AD∶OC 的值． 图 Z13－4 解：(1)证明：如答图，连结 DO. ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB. 又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即 OD⊥CD. 又∵点 D 在⊙O 上，∴直线 CD 是⊙O 的切线； (2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB. ∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC， ADDE ∴△EDA∽△ECO，∴OC＝CE＝ 2 ＝3. DE＋CD DE 中考变形 3 答图 4．[2016·广东]如图 Z13－5，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°.过点 B 作⊙O 的切线 BD，与 CA 的延长线交于点 D，与半径 AO 的延 长线交于点 E.过点 A 作⊙O 的切线 AF，与直径 BC 的延长线交于点 F. (1)求证：△ACF∽△DAE； 3 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 3 (2)若 S△ AOC＝4 ，求 DE 的长； (3)连结 EF，求证：EF 是⊙O 的切线． 图 Z13－5中考变形 4 答图 解：(1)证明：∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°， 又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°， 又∵OA＝OC， ∴△OAC 为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°， ∵AF 为⊙O 的切线，∴∠OAF＝90°， ∴∠CAF＝∠AFC＝30°， ∵DE 为⊙O 的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°， ∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC， ∴△ACF∽△DAE； 33 (2)∵△AOC 为等边三角形，∴S△AOC＝ 4 OA2＝ 4 ， ∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°， ∴BD＝2 3，BE＝ 3，∴DE＝3 3； (3)证明：如答图，过点 O 作 OM⊥EF 于点 M， ∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF， ∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF， 4 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 ∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°， ∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即 OE 平分∠BEF， 又∵∠OBE＝∠OME＝90°， ∴OM＝OB，∴EF 为⊙O 的切线． 5．[2017·株洲]如图 Z13－6，AB 为⊙O 的一条弦，点 C 为劣弧 AB 的中点，E 为优弧 AB 上一点，点 F 在 AE 的延长线上，且 BE＝EF，线段 CE 交弦 AB 于点 D. (1)求证：CE∥BF； (2)若 BD＝2，且 EA∶EB∶EC＝3∶1∶ 5，求△BCD 的面积． 图 Z13－6中考变形 5 答图 解：(1)证明：如答图，连结 AC，BE，作直线 OC， ∵BE＝EF， ∴∠F＝∠EBF， ∵∠AEB＝∠EBF＋∠F， 1 ∴∠F＝ 2∠AEB， ︵︵︵ ∵C 是AB的中点，∴AC＝BC， ∴∠AEC＝∠BEC，∵∠AEB＝∠AEC＋∠BEC， 1 ∴∠AEC＝2∠AEB，∴∠AEC＝∠F，∴CE∥BF； (2)∵∠DAE＝∠DCB，∠AED＝∠CEB， ADAEAD3 ∴△ADE∽△CBE，∴CB＝CE，即CB＝， 5 5 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 ∵∠CBD＝∠CEB，∠BCD＝∠ECB， ∴△CBE∽△CDB， BDBE21 ∴CB＝CE，即CB＝ ， 5 ∴CB＝2 5，∴AD＝6，∴AB＝8， ∵点 C 为劣弧 AB 的中点， 1 ∴OC⊥AB，设垂足为 G，则 AG＝BG＝2AB＝4， ∴CG＝CB2－BG2＝2， 11 ∴S△BCD＝2BD·CG＝2×2×2＝2. 6．如图Z13－7，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AE 和过点 C 的切线互相 垂直，垂足为 E，AE 交⊙O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连结 AC，BC，PB∶PC＝1∶2. (1)求证：AC 平分∠BAD； (2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由． 图 Z13－7中考变形 6 答图 解：(1)