以圆为背景的相似三角形的计算与证明完整资料

【最新整理，下载后即可编辑】 以圆为背景的相似三角形的计算与证明 【经典母题】 如图 Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点， AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝ 12，BC＝9，求AO的长． 图 Z13－1经典母题答图 解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R. 在 Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB＝AC2＋BC2＝15. ∵AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC， ∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC， ∴△AEO∽△ACB， OEAOR15－R45 ∴＝，∴ ＝，解得R＝， BCAB9158 75 ∴AO＝AB－OB＝15－R＝. 8 【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三 角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长． 【中考变形】 【最新整理，下载后即可编辑】 1． 如图Z13－2， 在Rt△ACB中， ∠ACB＝90°， O是AC边上的一点，以O为圆心，OC 图 Z13－2 为半径的圆与AB相切于点D，连结OD. (1)求证：△ADO∽△ACB； (2)若⊙O的半径为 1，求证：AC＝AD·BC. 证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB， ∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A， ∴△ADO∽△ACB； ADOD (2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴＝， ACBC ∴AD·BC＝AC·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC. 2．[2017·德州]如图 Z13－3，已知 Rt△ABC，∠C＝90°，D为 BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长． 图 Z13－3中考变形 2 答图 解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O的直径， 【最新整理，下载后即可编辑】 ∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点， ∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2， ∵OE＝OC，∴∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB， ∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线； (2)由(1)知∠BEC＝90°， ∵在 Rt△BEC与 Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA， BEBC ∴△BEC∽△BCA，∴＝， BCBA ∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2， 设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x， ∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝6，即AE＝6. 3．如图 Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC， 弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E. (1)求证：直线CD是⊙O的切线； (2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值． 图 Z13－4中考变形 3 答图 解：(1)证明：如答图，连结DO. ∵AD∥OC， 【最新整理，下载后即可编辑】 ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB. 又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD. 又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线； (2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB. ∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC， ADDEDE2 ∴△EDA∽△ECO，∴＝＝＝ . OCCEDE＋CD3 4． [2016·广东]如图 Z13－5， ⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O 的直径， ∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD， 与CA的延 长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O 的切线AF，与直径BC的延长线交于点F. (1)求证：△ACF∽△DAE； 3 (2)若S △AOC ＝，求DE的长； 4 (3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线． 【最新整理，下载后即可编辑】 图 Z13－5中考变形 4 答图 解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°， 又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°， 又∵OA＝OC， ∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°， ∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°， ∴∠CAF＝∠AFC＝30°， ∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°， ∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC， ∴△ACF∽△DAE； 3 2 3 (2)∵△AOC为等边三角形，∴S △AOC ＝OA＝， 44 ∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°， ∴BD＝23，BE＝3，∴DE＝33； (3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M， ∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF， ∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF， ∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°， ∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF， 又∵∠OBE＝∠OME＝90°， ∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线． 【最新整理，下载后即可编辑】 5．[2017·株洲]如图 Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧 AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上， 且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D. (1)求证：CE∥BF； (2)若BD＝2， 且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5， 求△BCD的面积． 图 Z13－6中考变形 5 答图 解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线OC， ∵BE＝EF， ∴∠F＝∠EBF， ∵∠AEB＝∠EBF＋∠F， 1 ∴∠F＝∠AEB， 2 ︵︵︵ ∵C是AB的中点，∴AC＝BC， ∴∠AEC＝∠BEC，∵∠AEB＝∠AEC＋∠BEC， 1 ∴∠AEC＝ ∠AEB，∴∠AEC＝∠F，∴CE∥BF； 2 (2)∵∠DAE＝∠DCB，∠AED＝∠CEB， ADAEAD3 ∴△ADE∽△CBE，∴＝，即＝， CBCECB 5 【最新整理，下载后即可编辑】 ∵∠CBD＝∠CEB，∠BCD＝∠ECB， ∴△CBE∽△CDB， BDBE21 ∴＝，即＝， CBCECB 5 ∴CB＝25，∴AD＝6，∴AB＝8， ∵点C为劣弧AB的中点， 1 ∴OC⊥AB，设垂足为G，则AG＝BG＝AB＝4， 2 ∴CG＝CB2－BG2＝2， 11 ∴S △BCD ＝BD·CG＝ ×2×2＝2. 22 6．如图 Z13－7，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE和过 点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线 EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2. (1)求证：AC平分∠BAD； (2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由． 图 Z13－7中考变形 6 答图 解：(1)证明：如答图，连结OC. ∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE， 【最新整理，下载后即可编辑】 ∵AE⊥PE，∴OC∥AE， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC平分∠BAD； (2)线段PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°， ∵OB＝OC，