八年级数学上册全等三角形之辅助线习题及答案人教版

全等三角形之辅助线（习题）全等三角形之辅助线（习题）  例题示范例题示范 例 1：已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是 AB 边上一点，AD=AC，过点 D A 作 DE⊥AB，交 BC 于点 E． 求证：CE=DE． 【思路分析】 ①读题标注： A D E ②梳理思路： CB D CEB 要证 CE=DE，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形 对应边相等来证明． 观察图形，发现不存在全等的三角形． 结合条件，AC=AD，∠C=∠ADE=90°，考虑连接 AE，证明△ACE≌△ADE． A 【过程书写】 证明：如图，连接 AE ∵DE⊥AB ∴∠ADE=90° ∵∠C=90° ∴∠C=∠ADE 在 Rt△ACE 和 Rt△ADE 中 过程规划：过程规划： 1．描述辅助线：连接AE 2．准备条件： ∠C=∠ADE=90° D CEB 3．证明△ACE≌△ADE 4．由全等性质得，CE=DE AE  AE  AC  AD （公共边） （已知） ∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL） ∴CE=DE（全等三角形对应边相等）  巩固练习巩固练习 1. 已知：如图，B，C，F，E 在同一条直线上，AB，DE 相交于点 G，且 BC=EF， GB=GE，∠A=∠D．求证：DC=AF． 第 1 页共 8 页 D G A 过程规划：过程规划： BCFE 2.已知：如图，∠C=∠F，AB=DE，DC=AF，BC=EF． ED 求证：AB∥DE． 第 2 页共 8 页 过程规划：过程规划： C F AB 3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F 分别是 AD，BC 的中点．求证：BE=DF． AED BFC 4.已知：如图，在正方形 ABCD 中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°，点 E，F 分别在 AB，BC 上，且 AE=BF，AF 交 DE 于点 G． 求证：DE⊥AF．A E G D B F C 5.已知：如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC ，AC 与 BD 相交于点 O， 过 O 作 EF 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则图中的全等三角形共有（） 第 3 页共 8 页 A O BF ED C A．5 对B．6 对C．7 对D．8 对 6. 如图，C 为线段 AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接 AN，交 CM 于点 E，连接 BM，交 CN 于点 F．有下列结论：①∠AMB=∠ANB；②△ ACE ≌ △ MCF ； ③ CE=CF ； ④ EN=FB ． 其 中 正 确 结 论 的 序 号 是 _________________． N M E AC F B 思考小结思考小结 1.根据本章知识结构图回答下列问题： 第 4 页共 8 页 一般三角形全等判定： _________________________________ 直角三角形全等判定： _________________________________ 判定 全等图形全等三角形 性质 对应边___________； 对应角___________． 应用 （1）补全知识结构图． （2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑它们所在 的三角形________；如果所在的三角形不全等或者不在三角形中，则可以把 一条边转移或者重新整合条件去构造全等三角形． （3）要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组 条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中 AAA，SSA 不能证明 两个三角形全等，请举出对应的反例． （4）由全等三角形的性质可知：全等三角形__________相等， __________相等，所以全等关系是转移边和角的有力工具． 【参考答案】【参考答案】 巩固练习巩固练习 1.证明：如图，过点 G 作 GH⊥BE 于点 H 第 5 页共 8 页 D G A BCHFE ∵GH⊥BE ∴∠GHB=∠GHE=90° 在 Rt△GHB 和 Rt△GHE 中， （已知）GB GE GH GH （公共边）  ∴Rt△GHB≌Rt△GHE（HL） ∴∠B=∠E（全等三角形对应角相等） ∵BC=EF ∴BC+CF=EF+CF 即 BF=EC 在△ABF 和△DEC 中， （已知）A  D  （已证） B  E BF  EC （已证）  ∴△ABF≌△DEC（AAS） ∴DC=AF 2.证明：如图，连接 BE ED C F AB 在△AEF 和△DBC 中， （已知）AF  DC  （已知） F  C EF  BC （已知）  ∴△AEF≌△DBC（SAS） ∴AE=DB（全等三角形对应边相等） 在△ABE 和△DEB 中， 第 6 页共 8 页 （已证）AE  DB  （已知） AB  DE EB  BE （公共边）  ∴△ABE≌△DEB（SSS） ∴∠ABE=∠DEB（全等三角形对应角相等） ∴AB∥DE 3.证明：如图，连接 BD AED BFC ∵AB∥CD，AD∥BC ∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD 在△ABD 和△CDB 中，   ABD  CDB （已证） BD  DB （公共边）  ADB  CBD （已证） ∴△ABD≌△CDB（ASA） ∴AD=CB（全等三角形对应边相等） ∵E，F 分别是 AD，BC 的中点 ∴DE=BF 在△BED 和△DFB 中，   DE  BF （已证） ADB  CBD （已证）  BD  DB （公共边） ∴△BED≌△DFB（SAS） ∴BE=DF（全等三角形对应边相等） 4.证明：如图， A 1 D 2 3 E G BC 在△DAE 第 和△ 7题图 F ABF 中 第 7 页共 8 页 AD  BA （已知）  ∠DAE ∠B （已知） AE  BF （已知）  ∴△DAE≌△ABF（SAS） ∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∵∠DAB=90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠AGD=90° ∴DE⊥AF 5.B 6.②③④ 思考小结思考小结 1.（1）SAS，SSS，ASA，AAS SAS，SSS，ASA，AAS，HL 相等； 相等． （2）全等 （3）3，边；AAA 反例：大小三角板；SSA 反例：作图略 （4）对应边，对应角． 第 8 页共 8 页