中考专题——折叠问题

折叠问题 折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折 纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质 和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对 称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成 一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 1、 （2009 年浙江省绍兴市）如图，D，E分别为△ ABC的AC，BC边的中点，将此三角 形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若CDE 48 °，则APD等于（） A．42° B．48° C ．52° D．58° B A D 2、 （2009 湖北省荆门市）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°， 将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为 CD，则ADB （） A．40°B．30° C．20°D．10° 3、 （2009 年日照市） 将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕 为 EF．已知 AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么 BF 的长度是． 4、 （2009 年衢州）在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9， AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠， 使 点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则△DEF 的周长为 A．9.5B．10.5C．11D．15.5 5、 （2009 泰安）如图， ∠ACB=90°，∠A＜∠ A CA 第 2 题图 M 在 Rt△ABC 中， B，沿△ABC 的中线 CM 将△CMA 折叠，使点A 落 1 C B （第 18 题图） 在点 D 处，若 CD 恰好与 MB 垂直， 则 tanA 的值为． 6、(2009 年上海市)在Rt△ABC中，BAC 90° ，AB 3，M为边BC上的点，联结 ． 如果将△ABM沿直线AM翻折后， 点B恰好落在边AC的中点处，AM（如图 3 所示） 那么点M到AC的距离是． A B M 图 3 C 7、 (2009 宁夏) 如图： 在Rt△ABC中，将△ADCACB 90°，CD是AB边上的中线， 沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE． 求证：EC∥AB． CE BA D 8、 （2009 年清远） 如图， 已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为 8，BC边上的高为6， ，过点M作B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合） MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h． （2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平 面的点为A 1， △A 1MN 与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大， 最大值为多少？ A MN BC 2 9、 （2009 恩施市）如图，在△ABC中，A 90° ，BC 10， △ABC的面积为 25，点D 为AB边上的任意一点（D不与A、B重合） ，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设 ，DE  x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内） 所得的△ADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y． （1）用x表示△ADE的面积； （2）求出0x≤5时y与x的函数关系式； （3）求出5x10时y与x的函数关系式； （4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ A D B A E A C BC 提示：相似、二次函数 10、 （2009 年天津市） 已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB90° ，OA2，OB4．如图，将该纸片放 置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；提示：画出图形，图中性质 △ACD≌△BCD,△BDC∽△BOA,BC=AC 3 y B OA x （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为 B ，设OB  x，OC  y，试写出y关于x的 函数解析式，并确定y的取值范围； 提示：画图，△COB＇中由勾股定理得出函数关系式，由x 取值范围确定 y 范围。 y B OA x （Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为 B ，且使BD∥OB，求此时点C的坐标． 提示：画图，△COB＇∽△BOA y B OA x 11、（2009 年湖南长沙） 如图， 二次函数y  ax bxc（a  0） 的图象与x轴交于A、B 两点， 与y轴相交于点C． 连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(3， 0)、C(0，3)， 且当x  4和x  2时二次函数的函数值y相等． （1）求实数a，b，c的值； （2） 若点M、N同时从B点出发， 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动， 其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为 t秒时，连结MN，将 △BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标； 4 2 （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项 点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 提示： 第 A M O B x 特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形 BNPM 为菱形； 第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似 的△BNQ ，再判断是否在对称轴上。 12、 （2009 年浙江省湖州市） 已知抛物线y  x 2x a（a  0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y  别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N. (1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M ， ，N ， ； 2 y P C N （2）问发现 1 xa分 2 5 (2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x 轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积； (3)在抛物线y  x 2x a（a  0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由. N 13、(2009 成都)如图，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____． A E A′ BC D 2 y C O A M 第（2）题 （第 12 题） N′ D x N B A B C y O x M 备用图 14、（2009 年凉山州） 如图， 将矩形ABCD沿对角线BD折叠， 使C落在 C 处， BC 交AD 于E，则下列结论不一定成立的是（） A．AD  BCB．EBD EDB C C．△ABE∽△ CBD D．sin ABE  AE ED A B E D C C如图，矩形纸片 ABCD 中