中考数学一元二次方程组大题培优易错难题及详细答案

中考数学一元二次方程组(大题培优 易错 难题)及详细答案 一、一元二次方程一、一元二次方程 1．已知：关于 x 的方程 x2－4mx＋4m2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况； (2)若△ ABC 为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2 【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为 13 或 17 【解析】 试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△ =4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根； 22 （2）根据等腰三角形的性质及△ ＞0，可得出 5 是方程 x ﹣4mx+4m ﹣1=0 的根，将 x=5 代入原方程可求出 m 值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出 结论． 22 试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m） ﹣4（4m ﹣1）=4＞0，∴无论 m 为何值，该方程总 有两个不相等的实数根． 22 （2）∵△＞0，△ ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5 是方程 x ﹣4mx+4m ﹣1=0 的根． 2 将 x=5 代入原方程，得：25﹣20m+4m ﹣1=0，解得：m1=2，m2=3． 2 当 m=2 时，原方程为 x ﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5 能够组成三角形，∴该 三角形的周长为 3+5+5=13； 2 当 m=3 时，原方程为 x ﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7 能够组成三角形，∴ 该三角形的周长为 5+5+7=17． 综上所述：此三角形的周长为13 或 17． 点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方 程，解题的关键是：（1）牢记“当△ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入 x=5 求出 m 值． 2．计算题 1x2 ÷（1+ 2 （1）先化简，再求值：），其中 x=2017． x 1x1 2 （2）已知方程 x ﹣2x+m﹣3=0 有两个相等的实数根，求m 的值． 【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】 分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解 的作用； （2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可. 1x2 ÷（1+ 2 详解：（1）） x 1x1 x2x211 = 2x1x 1 x2 x1x1 = 2x1x =x+1， 当 x=2017 时，原式=2017+1=2018 2 （2）解：∵方程 x ﹣2x+m﹣3=0 有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0， 解得，m=4 点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方 程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用. 3x3x 3．解方程：2 3 0． 2x12x1  【答案】x= 【解析】 【分析】 2 1 或 x=1 5 3x 2 ，则原方程变形为 y -2y-3=0,解这个一元二次方程求y，再求 x． 2x1 【详解】 设y  3x 2 ，则原方程变形为y -2y-3=0． 2x1 解这个方程，得 y1=-1,y2=3, 解：设y  ∴ 3x3x  1或3． 2x12x1 解得 x= 1 或 x=1． 5 1 或 x=1 都是原方程的解． 5 1 或 x=1． 5 经检验：x= ∴原方程的解是 x= 【点睛】 考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据 方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 4．图 1 是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为 △ ABC 和△ DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△ DEF 的斜边 DE 与△ ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将△ DEF 沿 AC 方向移动．在移动过程中， D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合)． （1）请回答李晨的问题：若CD=10，则 AD=； （2）如图 2，李晨同学连接 FC，编制了如下问题，请你回答： ①∠FCD 的最大度数为； ②当 FC∥AB 时，AD=； ③当以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD= ; ④△ FCD 的面积 s 的取值范围是 . 【答案】（1）2；（2）① 60°；② 【解析】 ；③ ；④. 试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC 的长，即可得到 AD 的长. （2）①当点 E 与点 C 重合时，∠FCD 的角度最大，据此求解即可. ②过点 F 作 FH⊥AC 于点 H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30 度角直角三角形的 性质求解即可. ③过点 F 作 FH⊥AC 于点 H，AD=x，应用含 30 度角直角三角形的性质把FC 用 x 来表示， 根据勾股定理列式求解. ④设 AD=x，把△ FCD 的面积 s 表示为 x 的函数，根据 x 的取值范围来确定 s 的取值范围. 试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC= ∵CD=10，∴AD=2. （2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°. ∵当点 E 与点 C 重合时，∠FCD 的角度最大，∴∠FCD 的最大度数=∠DEF=“60°.“ ② 如图，过点 F 作 FH⊥AC 于点 H， ∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=. . ，∴AC=12. ∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH=“45°.“ ∴HC= ∵AC=12，∴AD=. . ∴DC=DH+HC= ③如图，过点 F 作 FH⊥AC 于点 H，设 AD=x， 由②知 DH=3，FH=，则 HC=. .在 Rt△CFH 中，根据勾股定理，得 ∵以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴，即，解得. ④设 AD=x，易知 而 当时， ，即. ， ；当时， . . ∴△FCD 的面积 s 的取值范围是 考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含 30 度角直 角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值. 5．解下列方程： (1)2x2－4x－1＝0(配方法)； (2)(x＋1)2＝6x＋6. 【答案】(1)x1＝1＋ 【解析】 试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平 方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可； （2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0 的形式，然后求解即可. 2 试题解析：(1)由题可得，x －2x＝ 66 (2) x1＝－1，x2＝5.，x2＝1－ 22 13 2 ，∴x －2x＋1＝. 22 ∴(x－1)2＝ ∴x－1＝± 3 . 2 36 .＝± 22 66 .，x2＝1－ 22 ∴x1＝1＋ (2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1