中考数学专题复习方程与不等式

初三数学总复习辅导资料 2 方程与不等式方程与不等式 一、方程与方程组 二、不等式与不等式组 知识结构及内容： 1.几个概念 2.一元一次方程 （一）方程与方程组（一）方程与方程组 3.一元二次方程 4.方程组 5.分式方程 6.应用 1.1.概念概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解 2.2.一元一次方程：一元一次方程： 解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零） 例题：.解方程： 1 x1x  2x 1 （1）x （2） 2 x 3332 解： （3）关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1，则 m=。 解： 3.3.一元二次方程：一元二次方程： 2 （1）一般形式：ax  bx  c  0a  0 （2）解法： 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 b b2 4ac 2b  4ac  0 求根公式ax  bx  c  0a  0 x  2a 2  例题： ①、解下列方程： （1）x2－2x＝0；（2）45－x2＝0； （3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0. （5） （t－2） （t+1）=0；（6）x2＋8x－2＝0 (7 )2x2－6x－3＝0；（8）3（x－5）2＝2（5－x） 解： ② 填空： （1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2； （2）x2－8x＋（）＝（x－）2； 3 （3）x2＋x＋（）＝（x＋）2 2 （3）判别式△＝b2－4ac 的三种情况与根的关系 当 0时有两个不相等的实数根 ， 当 0时有两个相等的实数根 当 0时没有实数根。 当△≥0 时有两个实数根 例题．①． （无锡市）若关于x 的方程 x2＋2x＋k＝0 有两个相等的实数根，则k 满足 ( ) A.k＞1 B.k≥1 C.k＝1 D.k＜1 ②（常州市）关于x的一元二次方程x2(2k 1)xk 1 0根的情况是（） （A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根 （C）没有实数根（D）根的情况无法判定 2x ③． （浙江富阳市）已知方程  2px  q  0 有两个不相等的实数根，则 p 、 q 满足的关系 式是（） A、 p2 4q  0 B、 p2 q  0 C、 p2 4q  0 D、 p2 q  0 （4）根与系数的关系：x 1＋x2=  b a ，x c 1x2= a 例题： （浙江富阳市）已知方程3x2 2x 11 0的两根分别为x 1 1、 x 2 ，则 x  1 1 x 2 （） A、2B、11C、2D、 112  11  11 2 4.4.方程组：方程组： 二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元 例题：解方程组   x x   y y   7 7, ,  2 2x x   y y   8 8. . 解 解方程组   x2y  0 x2y 8 3 解 x y1 解方程组：    2  3 1 3x2y 10 解 解方程组：   x y 1 2x y 8 解 解方程组：x＋y＝9 3（x＋y）＋2x＝33 解 5.5.分式方程：分式方程： 分式方程的解法步骤： （1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法 的值是 例题：①、解方程： 41 的解为1 2x  2x 4 x2 4  0根为 2x 5x  6 x x 2 x y  ) 2()  3 0时，若设②、当使用换元法解方程(，则原方程可变形 x 1 x 1x 1 为（） A．y2＋2y＋3＝0 B．y2－2y＋3＝0 C．y2＋2y－3＝0 D．y2－2y－3＝0 3 （3） 、用换元法解方程x23x 2  4时，设y  x23x，则原方程可化为（） x 3x （A）y 3311 4  0（B）y4  0（C）y4  0（D）y4  0 yy3y3y 6.6.应用：应用： （1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题） （2）一元二次方程（增长率、面积问题） （3）方程组实际中的运用 例题：①轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相同.已知水 流的速度是 3 千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆 水速度=静水速度-水流速度） 解： ②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为 450 千米，B、C两城的距离为 400 千米，甲车比乙车的速度快 10 千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度 解 ③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的 百分率.（精确到 0.1%） 解 ④已知等式 (2A-7B)x+(3A-8B)=8x+10 对一切实数x都成立，求A、B的值 解 ⑤某校初三（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款,共捐款 100 元.捐款情况如下表： 捐款（元）1234 人数67 表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款 2 元的有x名同学,捐款 3 元的有y名同学,根据题意,可得方程组 A、 x  y  27 2x 3y  66  B、 x  y  27 2x 3y 100  C、 x  y  27 x  y  27 D、 3x  2y  663x  2y 100  解 ⑥已知三个连续奇数的平方和是 371，求这三个奇数. 解 ⑦一块长和宽分别为 60 厘米和 40 厘米的长方形铁皮， 要在它的四角截去四个相等的小正方 形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800 平方米.求截 去正方形的边长. 解： 1 几个概念 （二）不等式与不等式组（二）不等式与不等式组2 不等式 3 3 不等式（组） 1.1.几个概念几个概念：不等式（组） 、不等式（组）的解集、解不等式（组） 2.2.不等式不等式： （1）怎样列不等式： 1．掌握表示不等关系的记号 2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．． (1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算． (2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语． 例题：用不等式表示： ①a 为非负数，a 为正数，a 不是正数 解： ② (2)8 与 y 的 2 倍的和是正数； (3)x 与 5 的和不小于 0； (5)x 的 4 倍大于 x 的 3 倍与 7 的差； 解： （2）不等式的三个基本性质 不等式的性质 1：如果 ab，那么 a＋cb＋c，a－cb－c 推论：如果 a＋cb，那么 ab－c。 不等式的性质 2：如果 ab，并且 c0，那么 acbc。 不等式的性质 3：如果 ab，并且 cb，比较下列各式大小 11 （1）a3b3， （2）ab， （3）2a2b 33 （4）2a