中考数学专题：阅读理解整除问题

中考数学专题：阅读理解（整除问题） 基本知识：用字母表示一个多位数，数的整除的特征，不定方程的整数解。 【基本题 1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是 7，如果这个两位数加上 45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数。 【基本题 2】求方程3x  21y 117的所有正整数解 【基本题 3】求方程2x 3y  22的所有正整数解。 【基本题 4】一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之 间的差是 7 的倍数时，这个整数可以被 7 整除吗？请证明你的判断。 【经典例题 1】一个三位数是偶数且能能被7 整除，求出所有这样的所有三位数 【【经典例题 2】试说明把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字互换位置 后，所得的新两位数与原两位数的和能被 11 整除，所得的新两位数与原两位数 之差能被哪个质数整除？说明理由。 1 1 / 8 8 1.一个三位正整数 N，各个数位上的数字互不相同且都不为 0，若从它的百位、 十位、 个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这 个三位数本身，则称这样的三位数 N 为“公主数”，例如：132，选择百位数字 1 和十位数字 3 组成的两位数为 13 和 31，选择百位数字 1 和个位数字 2 组成的 两位数为 12 和 21，选择十位数字 3 和个位数字 2 组成的两位数为 32 和 23。因 为 13+31+12+21+32+23=132，所以 132 是“公主数”。 一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三 位数为“伯伯数”。 （1）判断 123 是不是“公主数”？请说明理由。 （2）证明:当一个“伯伯数”xyz是“公主数”时，则z2x。 （3）若一个“伯伯数”与 132 的和能被 13 整除，求满足条件的所有“伯伯数”。 2.（巴蜀中学期末考试 27 题）一个三位正整数 M，其各位数字互不相同且都不 为 0，若将 M 的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这 个三位数为 M 的“情谊数”， 如： 168 的“情谊数”为 618； 若从 M 的百位数字、 十位数字、 个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求 和，我们称这个和为 M 的“团结数”，如：123 的“团结数”为 12＋13＋21＋23 ＋31＋32＝132。 （1）求证：M 与其“情谊数”的差能被 15 整除； （2）若一个三位正整数 N，其百位数字为 2，十位数字为 a，个位数字为 b，且 各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若 N 的“团结数”与 N 之差为 24，求 N 的 值。 2 2 / 8 8 3.你听说过“好数”吗？数学里的“好数”有多种定义，我们这里给大家介绍其 中的一种：对于自然数 N，如果找到自然数 a 和 b，使得N  a22ab2b2， 则称 N 为“好数” ，例如 13 就是一个“好数” ，因为1312212222。 （1）判断：25 是“好数”吗？为什么？ （2）小明找到一些这样的“好数”后发现一规律：这些“好数”都可以看作是 两个完全平方数之和，你认为小明发现的规律正确吗？如果正确，请说明理由； 如果不正确，请举出反例。 （3）如果 m ，n 都是“好数” ，那么 mn 是否为“好数”？为什么？ 4．若一个三位整数，百位上数字的 2 倍加上十位上数字的 3 倍，再加上个位上 数字所得的和能被 7 整除，则称这个整数为“劳动数”． 例如：判断 210 是“劳动数”的过程如下：2×2+3×1+0=7，∵7 能被 7 整除， ∴210 是“劳动数”； 判断 322 是“劳动数”的过程如下：2×3+3×2+2=14，∵14 能被 7 整除，∴322 是“劳动数”； （1） 直接写出最小的“劳动数”为， 并请用上面的方法判断 448 是否为“劳 动数”； （2）试证明：所有的“劳动数”均能被 7 整除． 3 3 / 8 8 5.如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字， 且千位数字等于百位数 字与十位数字的和，个位数字等于百位数字与十位数字的差，则我们称这个四位 数为亲密数，例如 4312，其中 31,4=3+1,2=3-1，所以 4312 是亲密数。 （1）最小的亲密数是___________，最大的亲密数是_______________； （2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的这个新数叫做这个亲 密数的友谊数， 请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位 数字整除。 （3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的 7 倍之差 能被 13 整除，请求出这个亲密数。 6．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如 22， 797，12321 都是对称数．最小的对称数是 11，没有最大的对称数，因为数位是 无穷的． （1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和 再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17 的逆序数 为 71，17＋71=88，88 是一个对称数；39 的逆序数为 93，39＋93=132，132 的 逆序数为 231，132＋231=363，363 是一个对称数．请你根据以上材料，求出由 369 产生的第一个对称数； （2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示 的数，请你证明这两个数的差一定是 9 的整数倍； （3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被 11 整除，则满 足条件的三位对称数共有多少个？请直接写出符合条件的所有三位对称数。 4 4 / 8 8 7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么称这个正整数为“神秘 数” ．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此 4，12，20 这三个数都是神秘数． （1）28 和 2012 这两个数是神秘数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数） ，由这两个连续偶数构 造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 18.利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： 1 a2b2c2abbcac (ab)2(bc)2(ca)2 2 概念等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简 洁、美观 （1）请你检验这个等式的正确性； 111 （2）若a x20，b x19，c x21 202020  你能很快求出a2b2c2abbcac吗？ 9．任意写一个个位数字不为零的四位正整数 A，将该正整数 A 的各位数字顺序 颠倒过来，得到四位正整数B，则称A 和 B 为一对四位回文数．例如A＝2016，B ＝6102，则 A 和 B 就是一对四位回文数．现将 A 的回文数 B 从左往右，依次顺取 三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时， 将开头的一个数字或两个数字顺 次接到末尾．在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最