数学分析试题与答案

精品文档---下载后可任意编辑 《数学分析2》A试卷 学院班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一. 推断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 在连续，则在上的不定积分可表为（ ）. 为连续函数，则（ ）. 3. 若绝对收敛，条件收敛，则必定条件收敛（ ）. 4. 若收敛，则必有级数收敛（ ） 5. 若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 在上可积，则下限函数在上（ ） B. 2. 若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（ ） A.在上一定不可积； B. 在上一定可积,但是； C. 在上一定可积，并且； D. 在上的可积性不能确定. A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若，则级数一定收敛； B. 若，则级数一定收敛； C. 若，则级数一定收敛； D. 若，则级数一定发散； 5.关于幂级数的说法正确的是（ ） A.在收敛区间上各点是绝对收敛的； B.在收敛域上各点是绝对收敛的； C. 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D.在收敛域上是绝对并且一致收敛的； （每小题5分，共10分） 1. 2. 四. 推断敛散性（每小题5分，共15分） 1. 2. 3. 五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1. 2. 六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分） 七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分) 八. 证明：函数在上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分） 2024 ---2024学年度第二学期 《数学分析2》B卷答案 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一、 推断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉） 1.✘ 2.✔ 3.✘ 4. ✔ 5. ✔ 6. ✔ 7. ✔ 二.单项选择题（每小题3分，共15分） 三.求值与计算题（每小题5分，共10分） 1. 解：由于-------------------------3分 而 ---------------------------------4分 故由数列极限的迫敛性得： -------------------------------------5分 2.设 ，求 解：令 得 =----------------2分 = = -----------------------------------4分 = =---------------5分 （每小题5分，共10分） 1. 解：-------3分 且 ，由柯西判别法知， 瑕积分 收敛 -------------------------5分 2. 解： 有 -----------------------------2分 从而 当-------------------------------4分 由比较判别法 收敛----------------------------5分 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分） 1. 解：极限函数为-----------------------2分 又 --------3分 从而 故知 该函数列在D上一致收敛. -------------------------5分 2. 解：因当 时，--------------2分 而 正项级数 收敛， -----------------------------4分 3. 解：易知，级数的部分和序列一致有界，---2分 而 对 是单调的，又由于 ，------------------4分 所以在D上一致收敛于0， 从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。------5分 六.设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分） 解：解方程组得圆与抛物线在第一象限 的交点坐标为：， ---------------------------------------3分 则所求旋转体得体积为： -------------------------------7分 =------------------ = ------------------------------------------------------10分 七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分） 解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为： --------------------------------5分 故所求为： -------------------------------------8分 =1250 =12250（千焦）-----------------------------------10分 八．设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛.（本题满分9分） 证明：是上的单调函数，所以有 ------------------------------4分 又由与都绝对收敛， 所以 收敛，--------------------------------------7分 由优级数判别法知： 在2024 ---2024学年度第二学期 《数学分析2》A试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一