数学建模模糊数学方法建模

精品文档---下载后可任意编辑 在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们常常会遇到模糊概念（或现象）。例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。随着科学技术的进展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。 模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后进展起来的一个新的数学学科。统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必定现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。模糊数学就是讨论属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。 14.1 模糊数学的基本概念 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数 一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，假如将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。假如是论域 ，则的所有子集组成的集合称之为的幂集，记作。在此，总是假设问题的论域是非空的。为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。 对于论域的每一个元素和某一个子集，有或，二者有且仅有一个成立。于是，对于子集定义映射 即 则称之为集合的特征函数，集合可以由特征函数唯一确定。 所谓论域上的模糊集是指：对于任意总以某个程度属于，而不能用或描述。若将普通集的特征函数的概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数。 定义14.1 设是一个论域，假如给定了一个映射 则就确定了一个模糊集，其映射称为模糊集的隶属函数，称为对模糊集的隶属度。 定义14.1表明，论域上的模糊集由隶属函数来表征，的取值范围为闭区间，的大小反映了对模糊集的从属程度，值接近于1，表示从属的程度很高，值接近于0，表示从属的程度很低，使的点称为模糊集的过渡点。 当的值域为时，退化为普通集的特征函数，模糊集蜕变为普通集，所以模糊集是普通集概念的推广。 对于一个特定论域可以有多个不同的模糊集，记上的模糊集的全体为，即， 则就是论域上的模糊幂集，显然是一个普通集，且。 当论域为有限集时，若是上的任一模糊集，其隶属度为，通常有如下三种表示方法： 1）Zadeh表示法： 在论域中，的元素集称为模糊集合的支集。 2）序偶表示法：将论域中的元素与其隶属度构成序偶来表示 此种表示方法隶属度为0的项可不写入。 3）向量表示法： 在向量表示法中，隶属度为0的项不能省略。 当论域为无限集时，则上的模糊集可以表示为 模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。 定义14.2 设模糊集，其隶属函数为。 1）若对任意，有，则称包含，记； 2）若且，则称与相等，记为。 定义14.3 设模糊集，其隶属函数为，则称分别为与的并集与交集；称为的补集或余集，它们的隶属函数分别为 其中分别表示取大运算与取小运算，称其为Zadeh算子。并且，并和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算。 隶属函数的确定方法 正确地确定隶属函数是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。隶属函数是对模糊概念的定量描述。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题。隶属函数的确定过程，本质上应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。下面仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。不同的方法结果会不同，但隶属函数建立是否适合标准，要用实际使用的效果来检验。 1. 模糊统计方法 模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是在模糊统计试验的基础上，根据隶属度的客观存在性来确定，所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素： 1）论域。 2）中的一个固定元素。 3）中的一个随机变动的集合（普通集）。 4）中的一个以作为弹性边界的模糊集，对的变动起着制约作用。其中或，致使对的隶属关系是不确定的。 假设做次模糊统计试验，则可计算出 对的隶属频率 事实上，当不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为对的隶属度，即 2. 例证法 例证法是Zadeh在1972年提出的，主要思想是从已知有限个的值来估量论域上的模糊子集的隶属函数。 3. 指派方法 指派方法是一种主观方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集的隶属函数。假如模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。 若以实数域R为论域，称隶属函数为模糊分布。 实际中，根据讨论对象的描述来选择适当的模糊分布。偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，中间型模糊分布适合描述像“中”、“温和”、“中年”等处于中间的模糊现象。但这些方法所给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。常用的模糊分布见下表： 偏小型 中间型 偏大型 矩 形 分 布 梯 形 分 布 正 态 分 布 次 抛 物 型 分 布 型 分 布 其中 其中 其中 柯 西 型 分 布 其中 其中为偶数 其中 4. 其他方法 实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要是根据问题的实际意义来确定。例如，在经济管理、社会管理中，可以直接借助已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度。假如论域表示机器设备，在上定义模糊集=“设备完好”，则可以用“设备完好率”作为的隶属度。假如表示产品，在上定义模糊集=“质量稳定”，可以用“正品率”作为的隶属度。假如表示家庭，在上定义模糊集=“贫困家庭”，则可以用Engel系数=（食品消费）/（总消费）作为的隶属度。 14.2 模糊关系与模糊矩阵 模糊关系与模糊矩阵的概念 模糊关系是普通关系的推广，它描述元素之间关联程度的多少。 定义14.4 设论域，称的一个模糊子集为从到的模糊关系，记为，其隶属函数为映射 并称隶属度为关于模糊关系的相关程度。 由于模糊关系就是直积的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质。 对于有限论域，，则到的模糊关系可用阶模糊矩阵表示，即 其中表示对模糊关系的相关程度。 定义14.5 设矩阵，且 则称矩阵为模糊矩阵