数学物理串讲

精品文档---下载后可任意编辑 复数的三种表示： 代数表示，三角表示与指数表示 几个初等函数的定义式： § Cauchy-Riemann方程 §1.4 解析函数 1．定义 若复变函数在点及其邻域上处处可导，则称在点解析。 注意：假如只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。 例如：函数在点是否可导？是否解析？ 解：，，， ，，，， 由此可见，仅在，u、v可微且满足C-R条件，即仅于点可导，但在点不解析。在其他点不可导，则它在点及整个复平面上处处不解析。 某一点，函数解析可导 某一区域，函数解析可导 2．解析函数的性质 （ⅰ）几何性质 （ⅱ）调和性 （ⅲ）共轭性 例 已知求 看书上例题 §2.1 复变函数的积分 复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。 一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。积分路线不同，其结果也不同。 §2.2 柯西定理的应用 §2.3 不定积分 §2.4 柯西公式 均属于考试内容！ 第三章 幂级数展开 （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D’ Alember） 引入收敛圆半径：（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法） 引入收敛半径：（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开 2. 其他展开法 可用任何方法展开，只要项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor展开的唯一性） 如利用 ; 等等！ 例6 将在点邻域展开（） 解：利用有： 例7 在点的邻域展开 解： §3.5 洛朗（Laurent）级数展开 （1）展开中心z0不一定是函数的奇点； 3展开方法的唯一性 间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例2 将函数在内展开为Laurent级数 解：因为内展开，展开形式应为 而 得到： 例3 函数在下列圆环域内都是处处解析的，将在这些区域内展开成Laurent级数 ①②③④ 解：① 由于从而，利用 可得： 结果中不含负幂次项，原因在于在内解析的。 ②由于，从而所以 （） ③所以 于是 ④由于可知 展开的级数形式为所以 其他例子 见书 第四章 留数定理（残数，Residue） 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分 本章没重点，但是考点在这节！ 第五章 傅里叶变换 §5.1 Fourier级数 （一）周期函数的Fourier展开 若函数f(x)以2l为周期，即 ，则可取三角函数族 （5.1.2） （其中函数都以2l为周期） 作为基本函数族，将f(x)展开为傅里叶级数 （二） 奇函数和偶函数的Fourier展开 §5.2 Fourier积分与Fourier变换 记住基本的，最重要的公式，能理解即可！ 5.3 函数(又叫狄拉克函数) 函数的性质 （见书,选择性） 第六章 Laplace变换 6.3 Laplace变换的应用 本章没重点，但是考点在这节！ 第七章 数学物理定解问题 （1）依据物理规律（同一类物理现象的共同规律），将具体的物理问题化为数学问题——数学物理方程，称此方程为泛定方程（共性，一般规律）。 （2）列出具体问题的初始条件（历史状态）和边界条件（所处环境）称为定解条件（个性）。 （3）泛定方程提供解决问题的依据，定解条件提出具体的物理问题，作为一个整体，叫做定解问题。 【——定解条件：边界条件与初始条件 ——物理规律用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程 ——泛定方程（不带定解条件的数学物理方程） ——定解问题：在给定的定解条件下求解数学物理方程】 § ——本小结导出的偏微分方程主要分为三类 （ⅰ）以波动方程（1-6，14）为代表的双曲型方程； 齐次方程， 其中，就是振动在弦上传播的速度。上式也称为弦不受外力的横振动方程（自由振动方程） 比如弦在振动过程中还受到外加横向力（与同方向）的作用，引入力密度 （7）修改为 （8） （7）称为弦的自由振动方程，（8）称为弦的受迫振动方程。 再比如考虑重力，作用在此段上的重力为，则，重力与同向。则有：。 （ⅱ）以输运方程（扩散，热传导，7，8）为代表的抛物型方程； ，（7.1.25） 假如仅在x方向有扩散，则一维扩散方程为 ，（7.1.26） （iii）稳定场问题（Poisson and Laplace equations） （九）稳定的浓度分布 见P147-148 浓度在空间的分布构成一个标量场，在一般情况下，浓度分布是时间的函数，遵从扩散方程 ， 假如扩散源强度不随时间变化，扩散运动将持续进行下去，最终将达到稳定状态。空间中各点的浓度不再随时间变化，即，则上式变为泊松方程 （7.1.39） 为泊松（Poisson）方程假如源与汇不存在，则得到Laplace方程： 。（7.1.40） 为Laplace方程。 §7.2 定解条件 泛定方程表达同一类现象的共同规律。从物理的角度看，仅有方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到的外界作用有关。另外，从数学的角度看，一个微分方程的通解中往往含有若干个任意常数或任意函数，这就使得其解不能唯一确定，为了得到唯一确定的合理解，我们必须根据不同的实际问题加上相应的条件——定解条件来确定这些任意常数的数值和任意函数的形式。 定解条件即是初始条件和边界条件的统称，求解一个数理方程且满足一定定解条件的解的问题称为“定解问题”。 （一） 初始条件 某时刻，通常取t=0时，作为初始条件。 1. 波动方程的初始条件 初始条件表示如下： t=0时刻系统中各点“位移” t=0时刻各点的“速度” 2. 输运方程的初始条件（如浓度温度等） ——没有初始条件的问题 见P154-155 ——稳定场方程 无需提初始条件 （二） 边界条件 第一类边界条件 或常数 弦的横振动：假如弦的两端固定，其边界条件为 ，。 1. 第二类边界条件 或常数 即u在边界外法线方向上方向导数值. 表示外法线方向的单位矢量。 在一维问题中常以代替。 两端压力/拉力、自由等情况下的边界条件讲解！ ——热传导举例 设流入物体内的热流（单位时间通过单位截面积的热量）为f(t),则边界条件为： 流出：则有 具体到细长杆的热传导问题，如一端面x=0流入热流为，另一端(x=l)流出热流为，于是 ， 例 考虑长为的均匀杆的导热问题，若 （1）杆的两端温度保持零度； （2）杆的两端绝热； (3)杆的一端为恒温零度，另一端绝热； 试写出该导热问题在以上三种情况下的边界条件。 解：设杆的温度为u(x,t)则 （1） （2）因为当沿着杆长方向有热量流动时由Fourier实验定律（2.1.7）有 ， 其中q为热流强度，而杆的两端绝热，就意味着杆的两端与外界没有热交换亦即没有热量的流动（q=0），故有 （3）显然，此时有 衔接条件也属