计数原理综合习题

选修 2-3 第一章计数原理单元质量检测 时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1． 小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡． 若 他至少买一张，则不同的买法一共有() A．7 种 B．8 种 C．6 种 D．9 种 2．设某班有男生 30 人，女生 24 人，现要从中选出男、女生各一名代 表班级参加比赛，则不同的选法种数是() A．360 B．480 C．720D．240 3.设P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5， 则 P等于() A．x5 B．(x＋2)5C．(x－1)5 D．(x＋1)5 5的展开式中x2y3的系数是() A．－20 B．－5 C．5D．20 5．20 个不同的小球平均分装在 10 个格子中，现从中拿出5 个球，要 求没有两个球取自同一个格子中，则不同的拿法一共有() 55155 A．C5 10种 B．C20种 C．C10C2种 D．C 10·2 种 6．在(1－x)n＝a 0＋a1x＋a2x 2＋…＋a nx n中，若 2a 2＋an－5＝0，则 n的值 是() A．7 B．8 C．9 D．10 7．7 人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两 边的排法共有() A．120 种 B．240 种 C．48 种 D．24 种 8．( 2＋3)100的展开式中，无理项的个数是() A．83 B．84 C．85 D．86 9．某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类 节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是() A．72 B．120 C．144D．168 10．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 () A．144 B．120 C．72 D．24 11． 在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中， 记xmyn项的系数为f(m，n)， 则f(3,0) ＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝() A．45 B．60 C．120 D．210 12．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若 13a＝7b，则m＝() A．5 B．6 C．7 D．8 第Ⅱ卷第Ⅱ卷( (非选择题，共非选择题，共 9090 分分) ) 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从 中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 ________种(用数字作答)． 14．(x＋a)6的展开式中含x2项的系数为60，则实数a＝ ________. 15．在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将 这8张奖券分配给4个人， 每人2张， 不同的获奖情况有________种(用 数字作答)． 3 x n16.设a≠0，n是大于 1 的自然数，1＋ 的展开式为 a  a 0＋a1x＋ a 2x 2＋…＋a nx n.若点A i(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则 a＝ ________. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分) 17．(10 分)4 位学生与 2 位教师坐在一起合影留念，根据下列条 件，求各有多少种不同的坐法： (1)教师必须坐在中间； (2)教师不能坐在两端，但要坐在一起； (3)教师不能坐在两端，且不能相邻． 18．(12 分)从 1 到 100 的自然数中，每次取出不同的两个数，使 它的和大于 100，则不同的取法有多少种  19.(12 分)已知2  1 nxi＋ 2 ，i 是虚数单位，x0，n∈N ＋.x  (1)如果展开式的倒数第三项的系数是－180，求n的值； (2)对(1)中的n，求展开式中的系数为正实数的项．  2 1 n20.(12 分)若x－ 的展开式中含 x  x的项为第 6 项，设(1－3x)n ＝a 0＋a1x＋a2x 2＋…＋a nx n，求a 1＋a2＋…＋an 的值． 21.(12 分)已知(a2＋1)n的展开式中的各项系数之和等于 16 2  2n  x＋ 1 5 的展开式的常数项，而(a＋1) 的展开式的系数最大的项 5 x  等于 54，求a的值． 22.(12 分)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字： (1)可组成多少个无重复数字的自然数 (2)可组成多少个无重复数字的四位偶数 (3)组成无重复数字的四位数中比 4 023 大的数有多少 答案 1．C要完成“至少买一张 IC 电话卡”这件事，可分三类：第一 类是买 1 张 IC 卡；第二类是买 2 张 IC 卡；第三类是买 3 张 IC 卡．而 每一类都能独立完成“至少买一张 IC 电话卡”这件事．买 1 张 IC 卡 有 2 种方法，买 2 张 IC 卡有 3 种方法，买 3 张 IC 卡有 1 种方法．不 同的买法共有 2＋3＋1＝6(种)． 2．C由分步乘法计数原理，得N＝30×24＝720(种)． 3．BP＝[1＋(x＋1)]5＝(x＋2)5，故选 B. 1 5－r   rr 1 5－r4．A由已知，得T r＋1＝C5 x(－2y) ＝C 5  ·(－2)rx5－ 22 r rr 1 2y(0≤r≤5，r∈Z)，令r＝3，得T 4＝C  (－2)3x2y3＝－20 x2y3.故选 2 3 5 A. 5．D分两步：第一步先从 10 个格子中选中 5 个格子，有 C5 10种 方法；第二步从每个格子中选一个球，不同的拿法有 2×2×2×2×2 5＝25(种)．由分步乘法计数原理共有 C5 10·2 种不同的拿法． rn－5n－56．BT r＋1＝Cn(－1) rxr，则a 2＝C 2C n ，因为 2a 2n，an－5＝(－1) 52＋a n－5＝0， a 20，所以 a n－5＝－Cn，所以 2Cn＝C 5将各选项 n且 n为偶数， 代入验证知n＝8，故选 B. 7．C由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有 2 种排法， 4再排其他 4 人，有 A4 4种不同的排法，故不同的排法总数为 A4·2＝ 48(种)． 8．B先求展开式中的有理项． ∵T r＋1＝C100( 2) r100－r 100－rr ·(3) ＝C 100·2 ·3 ， 23 3 rr ∴要使展开式中的项为有理项，r必为 6 的倍数． 又∵0≤r≤100，且r∈N， ∴r的取值为 0,6,12，…，96，它构成了以0 为首项，6 为公差， 96 为末项的等差数列，设它有n项，则 96＝6(n－1)． ∴n＝17. ∵展开式中共有 101 项，其中有 17 项是有理项， ∴无理项有 84 项． 9．B解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A3 3，然 后利