计数原理综合习题

选修 2-3 第一章计数原理单元质量检测 时间120分钟 总分150分 第Ⅰ卷选择题，共 60 分 一、选择题每小题 5 分，共 60 分 1． 小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡． 若 他至少买一张，则不同的买法一共有 A．7 种 B．8 种 C．6 种 D．9 种 2．设某班有男生 30 人，女生 24 人，现要从中选出男、女生各一名代 表班级参加比赛，则不同的选法种数是 A．360 B．480 C．720D．240 3.设P＝1＋5x＋1＋10x＋12＋10x＋13＋5x＋14＋x＋15， 则 P等于 A．x5 B．x＋25C．x－15 D．x＋15 5的展开式中x2y3的系数是 A．－20 B．－5 C．5D．20 5．20 个不同的小球平均分装在 10 个格子中，现从中拿出5 个球，要 求没有两个球取自同一个格子中，则不同的拿法一共有 55155 A．C5 10种 B．C20种 C．C10C2种 D．C 102 种 6．在1－xn＝a 0＋a1x＋a2x 2＋＋a nx n中，若 2a 2＋an－5＝0，则 n的值 是 A．7 B．8 C．9 D．10 7．7 人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两 边的排法共有 A．120 种 B．240 种 C．48 种 D．24 种 8． 2＋3100的展开式中，无理项的个数是 A．83 B．84 C．85 D．86 9．某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类 节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A．72 B．120 C．144D．168 10．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A．144 B．120 C．72 D．24 11． 在1＋x61＋y4的展开式中， 记xmyn项的系数为fm，n， 则f3,0 ＋f2,1＋f1,2＋f0,3＝ A．45 B．60 C．120 D．210 12．设m为正整数，x＋y2m展开式的二项式系数的最大值为a，x ＋y2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若 13a＝7b，则m＝ A．5 B．6 C．7 D．8 第Ⅱ卷第Ⅱ卷 非选择题，共非选择题，共 9090 分分 二、填空题每小题 5 分，共 20 分 13．某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从 中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 ________种用数字作答． 14．x＋a6的展开式中含x2项的系数为60，则实数a＝ ________. 15．在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将 这8张奖券分配给4个人， 每人2张， 不同的获奖情况有________种用 数字作答． 3 x n16.设a≠0，n是大于 1 的自然数，1＋ 的展开式为 a  a 0＋a1x＋ a 2x 2＋＋a nx n.若点A ii，aii＝0,1,2的位置如图所示，则 a＝ ________. 三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分 17．10 分4 位学生与 2 位教师坐在一起合影留念，根据下列条 件，求各有多少种不同的坐法 1教师必须坐在中间； 2教师不能坐在两端，但要坐在一起； 3教师不能坐在两端，且不能相邻． 18．12 分从 1 到 100 的自然数中，每次取出不同的两个数，使 它的和大于 100，则不同的取法有多少种  19.12 分已知2  1 nxi＋ 2 ，i 是虚数单位，x0，n∈N ＋.x  1如果展开式的倒数第三项的系数是－180，求n的值； 2对1中的n，求展开式中的系数为正实数的项．  2 1 n20.12 分若x－ 的展开式中含 x  x的项为第 6 项，设1－3xn ＝a 0＋a1x＋a2x 2＋＋a nx n，求a 1＋a2＋＋an 的值． 21.12 分已知a2＋1n的展开式中的各项系数之和等于 16 2  2n  x＋ 1 5 的展开式的常数项，而a＋1 的展开式的系数最大的项 5 x  等于 54，求a的值． 22.12 分用 0,1,2,3,4,5 这六个数字 1可组成多少个无重复数字的自然数 2可组成多少个无重复数字的四位偶数 3组成无重复数字的四位数中比 4 023 大的数有多少 答案 1．C要完成“至少买一张 IC 电话卡”这件事，可分三类第一 类是买 1 张 IC 卡；第二类是买 2 张 IC 卡；第三类是买 3 张 IC 卡．而 每一类都能独立完成“至少买一张 IC 电话卡”这件事．买 1 张 IC 卡 有 2 种方法，买 2 张 IC 卡有 3 种方法，买 3 张 IC 卡有 1 种方法．不 同的买法共有 2＋3＋1＝6种． 2．C由分步乘法计数原理，得N＝3024＝720种． 3．BP＝[1＋x＋1]5＝x＋25，故选 B. 1 5－r   rr 1 5－r4．A由已知，得T r＋1＝C5 x－2y ＝C 5  －2rx5－ 22 r rr 1 2y0≤r≤5，r∈Z，令r＝3，得T 4＝C  －23x2y3＝－20 x2y3.故选 2 3 5 A. 5．D分两步第一步先从 10 个格子中选中 5 个格子，有 C5 10种 方法；第二步从每个格子中选一个球，不同的拿法有 22222 5＝25种．由分步乘法计数原理共有 C5 102 种不同的拿法． rn－5n－56．BT r＋1＝Cn－1 rxr，则a 2＝C 2C n ，因为 2a 2n，an－5＝－1 52＋a n－5＝0， a 20，所以 a n－5＝－Cn，所以 2Cn＝C 5将各选项 n且 n为偶数， 代入验证知n＝8，故选 B. 7．C由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有 2 种排法， 4再排其他 4 人，有 A4 4种不同的排法，故不同的排法总数为 A42＝ 48种． 8．B先求展开式中的有理项． ∵T r＋1＝C100 2 r100－r 100－rr 3 ＝C 1002 3 ， 23 3 rr ∴要使展开式中的项为有理项，r必为 6 的倍数． 又∵0≤r≤100，且r∈N， ∴r的取值为 0,6,12，，96，它构成了以0 为首项，6 为公差， 96 为末项的等差数列，设它有n项，则 96＝6n－1． ∴n＝17. ∵展开式中共有 101 项，其中有 17 项是有理项， ∴无理项有 84 项． 9．B解决该问题分为两类第一类分两步，先排歌舞类A3 3，然 后利