相似三角形证明技巧_专题

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似、全等的关系一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1 的特殊相似形，相似 形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨 论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形二、相似三角形 (1)(1)三角形相似的条件：三角形相似的条件： ①①；②；②；③；③. . 三、两个三角形相似的六种图形：三、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决使问题得以解决. . 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； a)已知一对等 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 b)己知两边对应成比 找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 c)己知一个直 角 d)有等腰关 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例判定定理 1 或判定定理 4 找顶角对应相等判定定理 1 找底角对应相等判定定理 1 找底和腰对应成比例判定定理 3 e)相似形的传递性 若△ 1∽△2，△ 2∽△3，则△ 1∽△3 五、五、 “三点定形法”“三点定形法” ，，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式 前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三 角形相似就可以了，这叫做“横定” ；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不 同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定” 。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题 复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC. 1 求证: AEAC AFBA （判断“横定”还是“竖定”？ ） 例 2、如图，CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交 BC、CD 于点 E、F，AC·AE=AF·AB 吗？ 说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ） 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 延长线于 F。 求证：CD2=DE·DF。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ） 六、过渡法（或叫代换法）六、过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面 分情况说明． 1 1、、 等量过渡法（等线段代换法）等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上， 不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件 找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后 再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代 换的线段再代换回来。 例 1： 如图 3， △ABC 中， AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E． 求证： DE2＝BE·CE． 分析： 2 2、、 等比过渡法（等比代换法）等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第 2 三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个 比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 例 2：如图 4，在△ ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于点 F． 求证： 3 3、等积过渡法（等积代换法）、等积过渡法（等积代换法） 思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三 点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法 确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。 例 3：如图 5，在△ ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的高，G 是 DC 延长线上一点，过 B 作 BE⊥AG，垂足为 E，交 CD 于点 F． 求证：CD2＝DF·DG． 小结：证明等积式思路口诀：小结：证明等积式思路口诀： “遇等积，化比例：横找竖找定相似；“遇等积，化比例：横找竖找定相似； 不相似，不用急：等线等比来代替。不相似，不用急：等线等比来代替。 ”” 同类练习：同类练习： 1．如图，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且∠ADE=∠C 求证： （1）△ADE∽△ACB; (2)AD·AB=AE·AC. 2．如图，△ABC 中，点 DE 在边 BC 上，且△ADE 是等边三角形，∠BAC=120° 求证： （1）△ADB∽△CEA; (2) DE²=BD·CE; (3) AB·AC=AD·BC. 3 ABDF ． ACAF 3． 如图， 平行四边形 ABCD 中，E 为 BA 延长线上一点， ∠D=∠ECA.求证：AD·EC=AC·EB. （此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决） 4． 如图，AD 为△ABC 中∠BAC 的平分线，EF 是 AD 的垂直平分线。求证：FD²=FC·FB。 （此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。 ） 5．如图，E 是平行四边形的边 DA 延长线上一点，EC 交 AB 于点 G,交 BD 于点 F,求证：FC²=FG·EF. （此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。 ） 6． 如图， E 是正方形 ABCD 边 BC 延长线上一点， 连接 AE 交 CD 于 F,过 F 作 FM∥BE 交 DE 于 M.求证： FM=CF. (注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替 代可以解决。) 4 7．如图，△ABC 中，AB=AC,点 D 为 BC 边中点，CE∥AB,BE 分别交 AD、AC 于点 F、G，连接 FC. 求证： （1）BF=CF. (2)BF²=F