教室座位选择问题数学建模

教室座位选择问题教室座位选择问题 摘要摘要 本文研究交大两种教室在不同的影响条件下对于最佳座位的选择问题，构建线性离 散加权模型的评价体系，从仰角α、视角β和学生与老师的距离L 三个不同的影响因素 来研究最佳位置。 针对问题一，在不考虑老师的影响因素下，分别对普通教室和阶梯教室的最佳位置 进行研究。我们需要在获得本题相关数据的前提下设置一个数学量建立一个评价体系， 通过该数学量的取值来评价座位的最佳程度。对于此问题的评价体系，由于最佳位置是 由多个因素共同决定，且每排座位都可以看作离散的个体，故采用线性离散加权模型对 α和β进行客观的加权的出每排座位的满意度。首先，我们算出每排的角与角的大 小，然后对其进行数据的一致化处理，α为极大型数据，而β为中间型数据，我们统一 将数据转化为极大型。 于是我们将β减去 30°加绝对值， 之后再取倒数， 得极大型数据， 再用极值化法对处理后的数据进行无量纲化，然后用变异系数法对视角和仰角加权，最 后建立线性离散加权模型进行求解。 最终在客观赋权的基础上求出普通教室的最佳座位 位于第 6 排，满意度为 0.7191，阶梯教室的最佳座位位于第 4 排，满意度为 0.8852. 对于问题二， 在考虑座位与距离老师远近产生的影响下， 分别选出普通教室和阶梯 教室的最佳座位。大致步骤同问题一相似，只是多了一个评价指标，既座位与老师的距 离，座位越靠前越容易集中精神，也越好。我们把距离与老师的影响视为线性相关，从 而把老师对学生的影响转化为与老师距离的大小，所以需要求出每排座位的距离，进行 预处理与加权，再建立线性离散加权模型进行求解。最终在三个因素的共同影响下确定 普通教室的最佳座位位于第 6 排， 满意度为 0.5470， 其中第 1 排与第 6 排的满意度比较 接近，阶梯教室的最佳座位位于第四排，满意度为 0.7980。 由最终结果可知，通过变异系数法所确定的β的权重明显高于其他两个评价指标， 致使满意度在很大程度上取决于β的取值，而α与距离 L 的影响相对不大，这主要因为 我们是通过客观的变化规律对指标取得相应的权重，完全忽略了主观因素对结果的影 响。针对本文的特点，由于评价的对象与指标比较少，且贴近实际生活，我们完全可以 通过调查同学们的想法来确定指标的主观权重。所以，为了保留指标的自身变化，同时 力争减少赋权的客观随意性，使属性的赋权达到主观与客观的统一，我们运用了主客观 赋权法对变异系数法进行了优化。 本文的最大特色，便是在客观结果的基础上通过实地问卷调查，将客观指标与主观 指标相结合，使属性的赋权达到主观与客观的统一，从而更加贴近实际，结果更具有说 服力！ 关键词：线性离散加权模型预处理无量纲化极大型极值化法 变异系数法主客观赋权法 1 一、问题提出一、问题提出 自高中升入大学，许多学生一下子从紧张的学习进入到自由宽松的学习氛围中，也 有一部分同学依旧保持着热忱的学习热情，在大学上课前抢着去占座位。 西南交通大学峨眉校区六号楼的教室大体可以分为两类，一类是普通教室，一类是 阶梯教室，下图为两类教室的剖面图。据悉，座位的满意程度主要取决于视角和仰角 ，视角是学生眼睛到屏幕上下边缘的夹角，越大越好；仰角是学生眼睛到屏幕 上边缘与水平线的夹角，太大会引起人的头部过分上仰而引起不适，最适宜的角度大 约为30，另外所占座位越靠前排越容易集中精神，也越好。 如图，设屏幕下边缘距地面高度为h 1 ，屏幕高h 2 ，普通教室第一排与屏幕的水平 距离为D 1 ，阶梯教室第一排与屏幕的水平距离为D 2 ，每一排的距离为d，普通教室总 共为学生平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。已知参数h 1 1.2，h 2  3，D 1  3， D 2  4，d  0.5，c 1.1（单位：m），普通教室总共有 8 排，阶梯教室总共有 14 排 且从第 6 排开始有阶梯，每节阶梯有一排座位且高度为0.1m。（如图所示） 1、假设不考虑座位与距离老师远近产生的影响，请分别选出普通教室和阶梯教室 的最佳座位； 2、考虑座位与距离老师远近产生的影响，请分别选出普通教室和阶梯教室的最佳 座位。 2 二、基本假设二、基本假设 1、假设最佳座位不受个人习惯、成绩、视力和学科以及其他因素的影响，统一标准客 观对待； 2、假设在同一排座位的满意度相同，不受左右的影响； 3、假设老师站位距离黑板 1.2 米处，且不考虑老师的移动问题； 4、假设同学到老师的距离为同学眼睛距老师所站之处 1.1 米高处质点的距离； 5、假设老师的影响与同学到老师的距离线性相关； 三、符号说明三、符号说明 符号意义 视角 仰角 屏幕下边缘距地面高度 普通教室第一排与屏幕 的水平距离 每一排的间距 到老师的距离 无量纲化后的α α的权重系数 β的权重系数 单位符号 ° ° m m m m S SL 意义 1 30 单位 1    h 1 D 1 1 L m1 m m m h 2 D 2 c 屏幕高 阶梯教室第一排与屏幕的水平 距离 眼睛到地面的距离 无量纲化后的β 无量纲化后的 L L 的权重系数 最终满意度 d L      L  L      四、问题分析四、问题分析 由题意可知，学生对座位的满意程度主要取决于听课时的视角，仰角以及距离 老师的距离，越大越好，而越接近300越好，与老师的距离越近越好，最佳位置就 是要在这三者之间找到一个契合点，使学生对三者的综合满意程度达到最大。 本文主要通过对水平视角，仰角以及距老师的距离进行无量纲化，再分别对三 3 者取权重，从而建立一个非线形型离散加权模型。 针对问题一，不考虑座位与距离老师远近产生的影响，分别求普通教室和阶梯教室 最佳座位所在。首先，我们算出每排的角与角的大小，然后对其进行数据的一致化 处理，全部转化为极大型数据，然后再进行无量纲化与加权，最后建立非线性离散加权 模型进行求解。 对于问题二，在考虑座位与距离老师远近产生的影响下，分别选出普通教室和阶梯 教室的最佳座位。大致步骤同问题一相似，只是多了一个评价指标，既座位与老师的距 离，座位越靠前越容易集中精神，也越好。我们把距离与老师的影响视为线性相关，从 而求出每排座位的距离，进行预处理与加权，再建立线性离散加权模型进行求解。 最后，我们考虑到所占权重太大，过于客观，其实很多同学对座位的选取是凭主 观意识来进行的，所以我们改进了对数据加权的方法，采用主客观赋权法，从而使结果 更符合实际，更具有说服力。 4 五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解 5.15.1问题一模型建立与求解问题一模型建立与求解 5.1.15.1.1 问题一的分析问题一的分析 针对问题一，不考虑座位与距离老师远近产生的影响，分别求普通教室和阶梯教室 最佳座位所在。对于普通教室，总共有8 排，第一排距黑板距离 D 为 3m，第一排距老师 1.8m。对于阶梯教室，总共 14 排，从第六排开始有阶梯且每排阶梯上升 0.1 米。第一 排距离黑板距离为 4 米，距离老师2.8 米。两阶梯教室每排宽度为0.5 米，黑板距离地 面 h 为 1.2 米，黑板高度为 3 米，第一