数列递推与通项公式22种归类（解析版）
数列递推与通项公式数列递推与通项公式2222种归类种归类 目录 一、一、 热点题型归纳热点题型归纳 【题型一】 归纳法求通项 【题型二】 等差等比定义型 【题型三】 累加法基础： 等差等比与裂项求和型 【题型四】 累加法拔高： 换元累加型 【题型五】 累加法拔高： 构造 【题型六】 累积法 【题型七】 前n项和型 【题型八】 二阶等比 【题型九】 二阶等差数列 【题型十】 sn与an型： 消sn型 【题型十一】 sn与an型： 消an型 【题型十二】 分式倒数递推 【题型十三】 新数列前n项和型 【题型十四】 高次幂取对数型 【题型十五】 二阶含n等比数列型 【题型十六】 二阶含n等差数列型 【题型十七】 因式分解型 【题型十八】 三阶递推 【题型十九】 前n项积求通项 【题型二十】 函数型递推 【题型二十一】 周期数列 【题型二十二】 奇偶讨论型 二、二、 真题再现真题再现 三、三、 模拟检测模拟检测 综述： 数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入点。数列大题第一问往 往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重点之一。 一、 热点题型归纳一、 热点题型归纳 【题型一】 归纳法求通项【题型一】 归纳法求通项 【典例分析】【典例分析】 1. ( (20212021· ·全国全国· ·高三课时练习高三课时练习) )根据下面的图形及相应的点数， 写出点数构成的数列的一个通项公式， 并在 横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. (1) __________ 1 6 11 16 () (2) __________ 1 4 7 10 () (3) __________ 3 8 15 24 () 【答案】 21 13 35 【分析】 结合图中点的规律即可写出一个通项公式以及横线处所需填的数值. 【详解】 (1)设第n个图形的点数为an， 第n个图形有5个分支,每个分支有n个点， 中间的一个是重复， 共 计算5次， 则an=5n-4,a5=21，； (2)设第n个图形的点数为an， 第n个图形有3个分支,每个分支有n个点， 中间的一个是重复， 共计算3 次， 则an=3n-2,a5=13，； (3)设第n个图形的点数为an， 由图可知， 第n个图形横方向上有 n+2个点， 竖方向上有n个点， 则an =n n+21=n2+2n,a5=35，. 2. ( (20212021· ·江苏江苏· ·高三专题练习高三专题练习) )数列-1,1,- 9 5 , 27 7 ,⋅⋅⋅的一个通项公式为________. 【答案】 (-1)n⋅ 3n-1 2n-1 【分析】 根据数列各项所满足的规律可写出结果. 【详解】 ∵-1= -1 1⋅ 30 2×1-1 ， 1= -1 2⋅ 31 2×2-1 ， - 9 5 = -1 3⋅ 32 2×3-1 ，27 7 = -1 4⋅ 33 2×4-1 ， ∴一个通项公式为：-1 n⋅ 3n-1 2n-1 .故答案为：-1 n⋅ 3n-1 2n-1 . 【提分秘籍】【提分秘籍】 基本规律基本规律 先通过计算数列的前几项， 再观察数列中的项与系数， 根据an与项数n的关系， 猜想数列的通项公式， 最后再证明. 一般这类题， 选择题很少， 因为可以代特殊值求解。 【变式演练】【变式演练】 1. ( (20212021· ·全国全国· ·高三课时练习高三课时练习) )根据下面的图形及相应的点数， 写出点数构成的数列的一个通项公式an=_ _________． 【答案】 5n-4 【分析】 观察图中点数增加规律是依次增加5， 可得求解。 【详解】 第一图点数是1； 第二图点数6=1+5 ;第三图是11=1+2×5 ； 第四图是16=1+3×5 则第n个图点数an=1+(n-1)×5=5n-4 故答案为： 5n-4 2. ( (20182018· ·全国全国· ·高三课时练习高三课时练习) )若数列的前4项为1,0,1,0， 则这个数列的通项公式不可能是 A. an= 1 2 [1+(-1)n-1]B. an= 1 2 [1-cos(n·180∘)] C. an=sin2(n·90∘)D. an=(n-1)(n-2)+ 1 2 [1+(-1)n-1] 【答案】 D 【详解】 试题分析： 把n=1,2,3,4⋅⋅⋅分别代入A， B， C， D四个选项， A， B， C均成立．在an=(n-1)(n- 2)+ 1 2 [1+(-1)n-1]中， a1=0+ 1 2 1+1=1， a2=0+ 1 2 1-1=0， a3=2+ 1 2 1+1=3， 故D不成 立， 故选D． 3. ( (20182018· ·上海市杨浦高级中学高三期末上海市杨浦高级中学高三期末) )已知数列1、 0、 1、 0、 ⋯， 可猜想此数列的通项公式是( ). A. an= 1+ -1 n-1 n∈N * B. an= 1 2 1+ -1 n n∈N * C. an= 1 2 1+ -1 n+1 + n-1n-2n∈N * D. an= 1 2 1-cosnπn∈N * 【答案】 D 【分析】 利用赋值法逐项排除可得出结果. 【详解】 对于A选项， a1=1+ -1 0=2≠1， 不合乎题意； 对于B选项， a1= 1 2 × 1-1=0≠1， 不合乎题意； 对于C选项， a3= 1 2 × 1+ -1 4 +2×1=3≠1， 不合乎题意； 对于D选项， 当n为奇数时， cosnπ=-1， 此时an= 1 2 × 1+1=1， 当n为偶数时， cosnπ=1， 此时an= 1 2 × 1-1=0， 合乎题意. 故选： D. 【题型二】 等差等比定义型【题型二】 等差等比定义型 【典例分析】【典例分析】 1. ( (20222022· ·全国全国 · ·高三课时练习高三课时练习 ) )在数列 an中， a1=2， an+1=an+2， 则数列 an的通项公式为 ___ _____． 【答案】 an=2n2 【分析】 根据给定条件可得数列an是等差数列， 求出其通项即可计算作答. 【详解】 由an+1=an+2 得： an+1-an=2， 而a1=2， 于是得数列an是以2 为首项， d=2 为公差的等差数列， 则有an=a1+(n-1)d=2 +2(n-1)=2n， 所以数列 an的通项公式为： an=2n2. 故答案为： an=2n2 【提分秘籍】【提分秘籍】 基本规律基本规律 等差数列判定： ①定义法：“欲证等差， 直接作差” ， 即证an+1-an=定值； ②等差中项法： 即证2an+1=an+an+2； ③函数结论法： 即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数. 等比数列的判定方法： (1)定义法：“欲证等比， 直接作比” ， 即证 an+1 an
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