《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计

第1页/共7页 《一元二次方程的根与系数关系》教学 设计 教材分析: 本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系 数之间的关系进行再探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两 根之积与一元二次方程中系数之间的关系． 教学目标： 【知识与能力目标】 1.掌握一元二次方程根与系数的关系； 2.能运用根与系数的关系解决具体问题. 【过程与方法】 经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程， 体验观察→发现→猜想→验证的思维转 化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力. 【情感态度与价值观】 通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互 联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法， 培养学生勇于探索的精神. 教学重难点： 【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用. 【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系. 课前准备： 第2页/共7页 多媒体 教学过程： 问题 1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？ （2）一元二次方程有实数根的条件是什么？ （3）当 Δ0，Δ＝0，Δ0 时，由求根公式得 x1＝ －b＋b2－4ac 2a ，x2＝－b－ b2－4ac 2a ， 所以 x1＋x2＝－b＋ b2－4ac 2a ＋－b－ b2－4ac 2a ＝－2b 2a＝－ b a， x1x2＝ －b＋b2－4ac 2a ·－b－ b2－4ac 2a ＝（－b） 2－（b2－4ac） 4a2 ＝c a； 当 Δ＝0 时，x1＝x2＝－ b 2a. 所以 x1＋x2＝－b a，x1x2＝ c a. [归纳并板书]根与系数关系：若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为 x1和 x2，则 x1 ＋x2＝－b a，x1x2＝ c a. [文字表达]一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系 数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 【设计意图】 ①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基 第4页/共7页 础．②通过设置问题 2 使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥ 0.③探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度。 问题 4： 例 1 根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程的两个根 x1， x2的和与积． (1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2. [师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结． [注意]把一元二次方程整理为一般形式，确定 a，b，c 的值，比较 b2－4ac 与 0 的大小， 然后利用根与系数的关系代入求值． [解]（1）x1+x2=6，x1·x2=-15； （2）x1+x2= 3 7 -，x1·x2= 3 9 -； （3）方程化为 4x2-5x+1=0， ∴x1+x2= 4 5 ，x1·x2= 4 1 . 变式练习 1 已知 x1，x2是一元二次方程 x2－4x＋1＝0 的两个实数根，则 x1x2等于(C) A．－4 B．－1 C．1 D．4 变式练习 2 若 x1，x2为方程 x2－2x－1＝0 的两个实数根，求 x1＋x2－x1x2的值． [解]由根与系数关系得，x1+x2=2，x1·x2=-1， ∴x1＋x2－x1x2=2-（-1）=3. 【设计意图】 问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固， 也是培养学生计算能 力和熟记公式的关键。 问题 5：例 2 已知方程 x2-x+c=0 的一根为 3，求方程的另一根及 c 的值. [分析]设方程的另一根为 x1，可通过求两根之和求出 x1的值；再用两根之积求 c，也可 将 x=3 代入方程求出 c 值.再利用根与系数关系求 x1值. 第5页/共7页 [解]设方程另一根为 x1， 由 x1+3=1，∴x1=-2. 又 x1·3=-2×3=c， ∴c=-6. 例 3 已知方程 x2-5x-7=0 的两根分别为 x1，x2，求下列式子的值： （1）x12+x22； （2）12 21 xx xx  . [分析]将所求代数式分别化为只含有 x1+x2和 x1·x2的式子后，用根与系数的关系，可 求其值. [解]∵方程 x2-5x-7=0 的两根为 x1，x2， ∴x1+x2=5，x1·x2=-7. (1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=52-2×(-7)=25+14=39； (2) 12 21 xx xx  = 22 12 12 39 7 xx x x    【设计意图】例 2 侧重于逆用根与系数关系，应注意引导学生进行正确思考；而例 3 侧重于利用根与系数的关系，进行代数式求值，这里将代数式转化为只含有 x1+x2及 x1·x2 的式子是解决问题的关键，应引导学生关注这类变形方法.教学过程中仍应让学生先自主探 究，独立完成，最后教师再予以评讲，让学生理解并掌握根与系数的关系；对于学生在探索 过程中的成绩和问题也给予评析，进行反思。 问题 6：例 4 已知 x1，x2是方程 x2-6x+k=0 的两个实数根，且 x12·x22-x1-x2=115， （1）求 k 的取值；（2）求 x12+x22-8 的值. [分析]将 x1+x2=6，x1·x2=k，代入 x12·x22-x1-x2=115 可求出 k 值.此时需用Δ=b2-4ac 来 判断 k 的取值，这是本例的关键. 第6页/共7页 [解]（1）由题意有 x1+x2=6，x1·x2=k. ∴x12·x22-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115， ∴k=11 或 k=-11. 又∵方程 x2-6x+k=0 有实数解， ∴Δ=(-6)2-4k≥0， ∴k≤9. ∴k=11 不合题意应舍去， 故 k 的值为-11； (2)由(1)知，x1+x2=6，x1·x2=-11， ∴x12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50. 【设计意图】 设置本例的目的在于引导学生正确认识根与系数的关系和根的判别式之间 的不可分割的特征.教学时应予以强调。 问题 6 . 1 课堂总结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？说一说！ 2．布置作业：教材第 17 页习题 21.2 第 7 题． 3.知识结构图： 教学反思： 1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系， 并发现可用系数表示的 求根公式来证明这个关系， 再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题， 注重了知识产 生、发展和出现的过程，注重了知识的应用. 第7页/共7页 2.教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论 证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想. 3.教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有 出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学 们学习的兴趣.